특수각

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1 개요

각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 익혀놔야 하는 상황이 적지 않다.
크게 주치([0,2π]) 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.

2 0

말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 있을 리가 없으므로 뭥미 싶기도 하지만, 모든 수의 기준이 0인 것처럼, 삼각함수의 기준점도 0이다.

• [math]\displaystyle \sin 0 = 0[/math]
• [math]\displaystyle \cos 0 = 1[/math]
• [math]\displaystyle \tan 0 = 0[/math]
• [math]\displaystyle \csc 0[/math]은 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \sec 0 = 1[/math]
• [math]\displaystyle \cot 0[/math]은 정의되지 않는다.

3 [math]\displaystyle {\pi \over 6}[/math] (30˚)

정삼각형을 한 꼭지점을 중심으로 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.

• [math]\displaystyle \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \cos {\pi \over 6} = {\sqrt{3} \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \tan {\pi \over 6} = {1 \over \sqrt{3}}[/math]
• [math]\displaystyle \csc {\pi \over 6} = 2[/math]
• [math]\displaystyle \sec {\pi \over 6} = {2 \over \sqrt{3}}[/math]
• [math]\displaystyle \cot {\pi \over 6} = \sqrt{3}[/math]

4 [math]\displaystyle {\pi \over 4}[/math] (45˚)

정사각형을 한 꼭지점을 중심으로 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.

• [math]\displaystyle \sin {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}[/math]
• [math]\displaystyle \cos {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}[/math]
• [math]\displaystyle \tan {\pi \over 4} = 1[/math]
• [math]\displaystyle \csc {\pi \over 4} = \sqrt{2}[/math]
• [math]\displaystyle \sec {\pi \over 4} = \sqrt{2}[/math]
• [math]\displaystyle \cot {\pi \over 4} = 1[/math]

5 [math]\displaystyle {\pi \over 3}[/math] (60˚)

정삼각형의 한 꼭지점을 끼고 있는 각이다.

• [math]\displaystyle \sin {\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \tan {\pi \over 3} = \sqrt{3}[/math]
• [math]\displaystyle \csc {\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}[/math]
• [math]\displaystyle \sec {\pi \over 3} = 2[/math]
• [math]\displaystyle \cot {\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}}[/math]

6 [math]\displaystyle {\pi \over 2}[/math] (90˚)

이 문단은 직각 · 90도(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.
삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관 없는 곳에서 더 많이 쓰여서 그렇지...

이 각도와 관련한 부정적인 측면 중 하나로 직각식사가 있다.

• [math]\displaystyle \sin {\pi \over 2} = 1[/math]
• [math]\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0[/math]
• [math]\displaystyle \tan {\pi \over 2}[/math]는 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \csc {\pi \over 2} = 1[/math]
• [math]\displaystyle \sec {\pi \over 2}[/math]는 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0[/math]

7 [math]\displaystyle {2\pi \over 3}[/math] (120˚)

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다.

• [math]\displaystyle \sin {2\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \cos {2\pi \over 3} = -{1 \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \tan {2\pi \over 3} = -\sqrt{3}[/math]
• [math]\displaystyle \csc {2\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}[/math]
• [math]\displaystyle \sec {2\pi \over 3} = -2[/math]
• [math]\displaystyle \cot {2\pi \over 3} = -{1 \over \sqrt{3}}[/math]

8 [math]\displaystyle {3\pi \over 4}[/math] (135˚)

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.

• [math]\displaystyle \sin {3\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}[/math]
• [math]\displaystyle \cos {3\pi \over 4} = -{1 \over \sqrt{2}}[/math]
• [math]\displaystyle \tan {3\pi \over 4} = -1[/math]
• [math]\displaystyle \csc {3\pi \over 4} = \sqrt{2}[/math]
• [math]\displaystyle \sec {3\pi \over 4} = -\sqrt{2}[/math]
• [math]\displaystyle \cot {3\pi \over 4} = -1[/math]

9 [math]\displaystyle {5\pi \over 6}[/math] (150˚)

• [math]\displaystyle \sin {5\pi \over 6} = {1 \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \cos {5\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2}[/math]
• [math]\displaystyle \tan {5\pi \over 6} = -{1 \over \sqrt{3}}[/math]
• [math]\displaystyle \csc {5\pi \over 6} = 2[/math]
• [math]\displaystyle \sec {5\pi \over 6} = -{2 \over \sqrt{3}}[/math]
• [math]\displaystyle \cot {5\pi \over 6} = -\sqrt{3}[/math]

10 [math]\displaystyle {\pi}[/math] (180˚)

이 문단은 평각 · 180도(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 오일러의 등식에 이 각이 들어간다.

• [math]\displaystyle \sin {\pi} = 0[/math]
• [math]\displaystyle \cos {\pi} = -1[/math]
• [math]\displaystyle \tan {\pi} = 0[/math]
• [math]\displaystyle \csc {\pi}[/math]는 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \sec {\pi} = -1[/math]
• [math]\displaystyle \cot {\pi}[/math]는 정의되지 않는다.

11 [math]\displaystyle {3 \pi \over 2}[/math] (270˚)

직사각형의 바깥쪽 각이다.

• [math]\displaystyle \sin {\pi \over 2} = -1[/math]
• [math]\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0[/math]
• [math]\displaystyle \tan {\pi \over 2}[/math]는 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \csc {\pi \over 2} = -1[/math]
• [math]\displaystyle \sec {\pi \over 2}[/math]는 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0[/math]

12 [math]\displaystyle 2 \pi[/math] (360˚)

이 문단은 360도(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 [math]2 \pi[/math]로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.

• [math]\displaystyle \sin 2 \pi = 0[/math]
• [math]\displaystyle \cos 2 \pi = 1[/math]
• [math]\displaystyle \tan 2 \pi = 0[/math]
• [math]\displaystyle \csc 2 \pi[/math]은 정의되지 않는다.
• [math]\displaystyle \sec 2 \pi = 1[/math]
• [math]\displaystyle \cot 2 \pi[/math]은 정의되지 않는다.

13 작도 가능한 각도

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.

• 15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용해서 15˚는 작도 가능하다.
• 72˚ : 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다.
• 3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
  • 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
• [math]\displaystyle \frac {2 \pi}{17}= \frac{360^\circ}{17}[/math] (약 21.1764705882˚) : 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각을 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2ⁿ배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정66537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형은 작도 불가능하다.

14 [math]{i}[/math]

허수 각이라니 이게 무슨 개 풀 뜯어먹는 소리냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...). 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 쌍곡함수로 탈바꿈하게 된다.

• [math]\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i[/math]
• [math]\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e }[/math]
• [math]\displaystyle \tan{ i } = {i \sinh{ 1 } \over \cosh{ 1 }} = \frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i[/math]
• [math]\displaystyle \csc{ i } = {1 \over i\sinh{ 1 }} = -\frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -\frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i[/math]
• [math]\displaystyle \sec{ i } = {1 \over \cosh{ 1 }} = \frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = \frac{ 2e }{ e^2 + 1 }[/math]
• [math]\displaystyle \cot{ i } = {\cosh{ 1 } \over i \sinh{ 1 }} = -\frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i[/math]