| 다각형 | |||||||||
| 변과 각의 개수 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 이름 | 일각형 | 이각형 | 삼각형 | 사각형 | 오각형 | 육각형 | 칠각형 | 팔각형 | 구각형 |
| ※ 회색으로 칠해져 있는 부분은 비유클리드 기하학에서만 존재. | |||||||||
1 개요
多各形, Polygon
사전적 정의는 '2차원 평면 내에 존재하면서 오로지 선분으로만 이루어진 도형'. 좀 더 정확하게는 '한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 경로'라고 정의된다. '모서리'가 되는 각 선분이 만나는 '꼭지점'에 '각'이 반드시 형성되기 때문에 다각형이라는 이름이 붙었다.
기하학에서 '한 면'이 성립할 수 있는 조건들 중에는 '꼭지점이 세 개'인 경우나 세 직선이 한 점이 아닌 지점에 서로 만날 경우가 있다. 따라서 2차원 평면에서 존재할 수 있는 가장 적은 수의 다각형은 삼각형이다. 그렇기에 일각형과 이각형은 2차원 평면에서 존재할 수 없으며, 3차원 구면좌표에서 이론적으로나마 표현이 가능하다.[1] 마찬가지로, 내각이 360도가 되는 삼각형도 2차원 평면에서 구현할 수 없고 3차원 구면좌표에서나 표현할 수 있다.
다각형의 내각 중 하나가 180도를 넘어가면 그것을 오목다각형, 그 외의 것을 볼록다각형이라고 칭하기도 한다. 오목다각형은 각(=모서리)의 수가 4개 이상인 경우에만 존재할 수 있다.
어떤 다각형의 모든 꼭짓점이 원에 접하면 이것을 내접다각형이라고도 한다.
특히 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 다각형을 '정다각형'이라고 하는데, n이 무한대로 발산하면 정다각형은 모든 점에서의 곡률이 같은 폐곡선인 원에 가까워진다. 물론 n이 3 이상의 임의의 자연수인 경우엔 항상 각이 존재하며, 이는 정의 상 원이라 할 수 없으므로 원 자체라고는 할 수 없다(극한 항목 참고.).
2 공통 성질
- 말 그대로, 곡면이 없다.
- 모서리의 수 = 각의 수라는 등식이 항상 성립하며, 이에 따라서 다각형은 n개(n은 자연수)의 모서리와 각을 가진다.
- 대각선의 수는 n(n-3)/2.
이 밑의 성질은 사전적 정의에서는 깨진다. 예를 들어 삼각형 구멍이 있는 삼각형은 사전적 정의로는 육각형으로 내각의 합이 1080도, 외각은 0도가 되지만, 경로로 다각형을 정의하면 이 도형은 다각형이 아니다. 비유클리드 기하학에서도 마찬가지로 깨진다.
- 내각의 합은 (n-2) * 180도.
- 외각의 합은 항상 360도.
3 다각형의 분류
- 볼록다각형(convex polygon) : 수학적 정의로는 다각형을 가로지르는 모든 선 하나가 다각형과 교점을 2개 갖는다는 걸 의미한다. 여기에서 모든 각이 180도보다 작은 다각형이라는 결론이 나온다.
- 볼록하지 않은 다각형(non-convex polygon) : 다각형을 가로지르는 어떤 선 하나라도 교점이 3개 이상인 다각형. 필수적으로 한 각은 180도를 넘게 된다.
- 간단한 다각형(simple polygon) : 모든 변들이 서로 가로지르는 변이 없는 다각형.
- 복잡한 다각형(complex polygon) : 한 변이라도 서로 가로지르는 다각형. 삼각형 두개를 꼭짓점 하나로 이어져있는 것을 생각해보면 된다.
- 오목다각형(concave polygon) : 볼록하지 않으면서 간단한 다각형. 마찬가지로 한 각 이상 180도를 넘는다.
- 정다각형 : 모든 각의 크기가 같고, 모든 변의 길이가 같은 다각형.
- 오목 정다각형(정다각별) : 위 정의에 따르면, 정오각형의 꼭지점을 한 번씩 건너 뛰어 연결하면 만들어지는 도형인 정오각별과 같은 별 다각형도 정다각형에 속한다.
3.1 슐레플리 부호
정다각형은 {n} 기호를 사용해서 그 정다각형을 나타내는 기호를 나타낼 수 있다. 이것을 슐레플리 부호라고 한다.[2] 여기서 n은 변의 개수를 의미한다. 오목 정다각형은 {n/m} 꼴로 표현하는데, 여기서 m은 이 다각형에서 꼭지점을 이을 때 m-1개의 꼭지점을 건너뛰어 연결한다는 뜻이다.
예를 들어, 이 도형은 꼭지점 5개를 한 칸씩 건너 뛰어 만들어진 정오각별로, {5/2}이다. 꼭지점이 7개인 정다각별은 두 가지가 존재하는데, 각 꼭지점을 한 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/2}와 두 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/3}이 존재한다. 또다른 예로, 꼭지점이 9개인 정다각형은 두 가지가 존재한다. 꼭지점을 한 번 건너뛰어 연결하면 {9/2}가 만들어지며, 꼭지점을 두 번 건너뛰면 {9/3}이 나오는데, {9/3}는 정삼각형과 같다. 꼭지점을 세 칸 건너뛰어 연결하면 {9/4}가 만들어진다.