사면체

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사면체의 모습.

四面體, Tetrahedron

한 개의 꼭짓점에 세 개의 이 만나고, 네 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 가장 적은 수의 면으로 구성된 다면체인 단체(simplex)[1]로, 삼각뿔이라고도 불린다. 면들이 모두 정삼각형일 경우 정사면체라고 부른다. 정사면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다. 무게중심이 정육면체보다 아래에 있어서 더 안정적이다.

1 정사면체

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정다면체중 하나인 정사면체의 모습.

정다면체
플라톤 다면체
볼록 정다면체
케플러-푸앵소 다면체
오목 정다면체
정사면체정육면체, 정팔면체정십이면체, 정이십면체작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체


正四面體, Regular tetrahedron[2]

면들이 모두 정삼각형인 사면체를 특별히 정사면체라고 부른다. 정사면체는 정삼각뿔의 일종이다.
정사면체 다섯 개로 4차원 도형인 정오포체를 만들 수 있다.

1.1 정사면체에 대한 정보

단위/특성개수비고
슐레플리 부호{3,3}
꼭지점(vertex, 0차원)4
모서리(edge), 1차원)6
면(face, 2차원)4정삼각형
쌍대정사면체 {3,3}
포함 관계[3]
또는 다른 이름[4]
정삼각뿔(Equilateral triangular Pyramid)
3-심플렉스(3-Simplex)

한 변의 길이가 [math]a[/math]인 정사면체가 있을 때
높이(height)[5] = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a[/math]
외접구의 반지름 = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}a[/math]
내접구의 반지름 = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{12}a[/math]
총 모서리 길이(total edge length) = [math]6a[/math]
겉넓이(surface area) = [math]\sqrt{3}a^2[/math]
부피(volume) = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3[/math]

1.2 다른 정다면체들과의 관계

  • 정사면체는 특이하게도 정사면체 자기 자신과 쌍대(Dual)[6] 도형이다. [7][8]
  • 정사면체의 꼭지점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 정팔면체가 만들어진다.
  • 정육면체의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 꼭지점을 이은 선분으로 이루어진 도형은 정사면체이다.
  • 정사면체를 단위로 해서 만들 수 있는 4차원 도형로 정오포체, 정십육포체, 정육백포체가 있다.

1.3 여담

정다면체들 중에서 유일하게 안정적으로 세워놓았을 때 위를 향하는 면이 없다. 따라서 주사위를 만들었을 때 면이 아닌 꼭지점을 기준으로 숫자를 표기하기도 한다.

2 현실에서의 예시

  1. 유클리드 기하학에서는 3개 이하의 면으로는 절대로 다면체를 만들 수 없다.
  2. 복수는 regular tetrahedra
  3. 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우
  4. 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름
  5. 한 면에서 반대쪽 꼭지점까지의 거리
  6. 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.
  7. 정사면체는 한 꼭지점에 세 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 세 개 만나는 도형인 자기 자신{3, 3}과 쌍대인 것은 당연하다.
  8. 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.
  9. SiH4, 규화수소
  10. AsH3, 비화수소