원(도형)

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• 수학 관련 정보

언어별 명칭
순우리말 한자어	동그라미 원
라틴어	Orbis
영어	Circle
일본어	円(えん) 丸(まる)

잘 그리면 변태라 카더라

1 개요

Circle. 기하학에 등장하는 도형의 일종. 수학적 정의는 '2차원 평면의 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합'이다. 정다각형도 변의 수가 무한대로 발산하면 원에 가까워지지만, 원과의 정의와는 부합하지 않으므로 엄밀한 의미에서의 원으로는 간주하지 않는다.

그 점부터의 특정 거리를 '반지름(radius)'이라고 하며, 이 원에서 일정 크기만큼 파이 조각처럼 잘라낸 도형을 '부채꼴', 그 부채꼴의 곡선을 '호'라고 한다. 원의 무작위 부분을 직선으로 잘라내어 생긴 도형을 '활꼴', 그 활꼴의 두 점을 잇는 선을 '현'이라고 한다.

원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 해석적으로 표현하자면 일반형으로는

$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$ 로, 표준형으로는 $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$$ 로 표현한다. 표준형에서 $$a$$ 와 $$b$$ 는 원의 중심이 $$\left(a,b\right)$$ 라는 것을 나타내며, $$r$$ 은 반지름이다. 원리는, $$\left(x,y\right)$$ 가 원 위에 있는 모든 점들을 나타내므로 원의 중심 $$\left(a,b\right)$$ 와 $$\left(x,y\right)$$ 의 거리가 전부 $$r$$ 이어야 하는데, 이 때 해당 거리를 나타내는 공식이 $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$$ 의 제곱근(= 반지름)이므로 여기에서 더 단순화 시키기 위해 양변을 제곱해서 위와 같은 식이 도출되는 것이다.

위에서 설명했다시피 표준형 함수를 보고 원의 형태를 알아내는 것은 매우 쉬운데, 예를 들어

$$\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=16$$ 의 형태는 중심의 좌표가 (2,4)이며 반지름이 4인 원이기 때문이다. 반면 일반형으로 나타내어져 있는 원의 형태는 일일히 식에 $$x$$ 좌표를 대입해서 계산하거나 하지 않는 이상 바로 알아내기가 거의 불가능에 가깝다. 즉, 일반형으로 나타내어져 있는 원의 형태를 구하는 방법은 그 식을 표준형으로 변경하는 것.

$$x^2+y^2-6x-4y-12=0$$ 를 표준형으로 변형하려면

1. 일단 완전제곱식을 이용하니 그러기 편하도록 항들을 옮긴다.

• $$x^2-6x+y^2-4y-12=0$$

2. 완전제곱식으로 묶을 수 있도록 상수항들을 추가하고, 결과적인 값이 변하지 않도록 같은 값을 빼준다.

• $$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-4y+4\right)-12-9-4=0$$
• 계산하면 $$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-4y+4\right)-25=0$$

3. 각각 인수분해한다.

• $$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2-25=0$$

4. 상수항을 오른쪽으로 이항하면 끝.

• $$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$

즉

$$x^2+y^2-6x-4y-12=0$$ 는 중심의 좌표가 $$\left(3,2\right)$$ 이고 반지름이 $$5$$ 인 원이다. 참 쉽죠?

표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋으나 그럼에도 불구하고 일반형 함수를 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다.

$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$ 에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 $$A,\,B,\,C$$ 값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.

원의 정의를 확장해서,

$$n$$ 차원 공간에서 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합 $$S^{n-1}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\left\Vert x\right\Vert=1\right\}$$ 을 $$n$$ 차원 원이라고 부른다. 간단한 예시를 들자면 구(Sphere)는 3차원 원으로 $$S^{2}$$ 이고, 1차원 원은 특정한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 두 개의 점으로 정의된다. 4차원 이상인 경우 $$n$$ 차원 원을 그냥 '원'이라고 불러도 보통은 문맥상 의미가 통하지만, 3차원 공간인 경우 반드시 '구'라고 불러야 3차원 원을 지칭한다.

2차원 원

$$S^{1}$$ 은 흔히 생각하는 그 원으로, $$\mathbb{C}$$ 의 부분집합으로 생각할 수 있다( $$S^{1}$$ 의 원소 $$\left(x,\,y\right)$$ 를 $$\mathbb{C}$$ 의 $$x+yi$$ 에 대응시키면 된다. 복소평면을 생각하면 아주 당연한 대응이다). 이렇게 생각하면, $$S^{1}$$ 자체는 하나의 가환군이된다.

대수적 위상수학에서 기본군을 계산하는 가장 간단한 예가,

$$S^{1}$$ 으로 $$\pi_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb{Z}$$ 이다.

원의 중심과 그 중심에서 뻗어나가는 직선 하나를 기준으로 잡은 뒤, 중심에서의 거리(반지름)과 직선으로부터의 각도를 기준으로 삼는 좌표계를 극좌표계(Polar coordinate)라고 한다. 특정 지점으로부터의 거리에 따라 달라지는 함수(파동이라던가 전자기력, 중력 등)를 기술할 때 주로 쓰인다.

컴퍼스를 사용하면 손으로도 쉽게 그릴 수 있다.

2 관련 공식

• 둘레의 길이 : $$2\pi r$$ (π는 원주율. 대개 3.14 또는 3.14159까지 표시)
• 넓이 : $$\pi r^2$$
• 평면좌표계로 나타내는 중심이 원점이고 반지름이 $$r_0$$ 인 원의 방정식은 $$x^2+y^2={r_0}^2$$ 이며, 극좌표계로 나타내는 원의 방정식은 $$r=r_0$$ 이다.
• 호의 길이 : 반지름이 $$r$$ 이고 중심각이 $$\theta$$ 인 호의 길이: $$l=r\theta$$
• 부채꼴의 넓이 : 반지름이 $$r$$ 이고 중심각이 $$\theta$$ 인 부채꼴의 넓이: $$S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl$$ (단, $$l$$ 은 호의 길이)
• 현의 길이 : $$2r\sin\frac{\theta}{2}$$
• 원주상의 한 점 $$\left(x_1,y_1\right)$$ 에서 그은 접선의 방정식: $$\left(x_1-a\right)\left(x-a\right)+\left(y_1-b\right)\left(y-b\right)=r^2$$
• 기울기가 $$m$$ 인 접선의 방정식: $$y-b=m\left(x-a\right)\pm\sqrt{r^2\left(m^2+1\right)}$$

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