연립방정식

1 개요

連立方程式(Simultaneous equations)

방정식 중에서 복수의 방정식이 세트로 묶여 있는 것을 일컫는다. 어지간해서는 미지수가 둘 이상이기 때문에 푸는 과정에서 멘탈붕괴를 경험하는 경우가 있다. 물론 푸는 방법이 있는지도 모르는 이 녀석보다는 쉽기야 하긴 하지만...

1차 연립방정식 정도는 여러 가지의 초보적인 계산법이 있긴 하지만, 가장 확실하고 보편적인 방법은 행렬을 이용하는 것이다.

미지수의 개수에 따라 n원 연립방정식으로 정의한다. 경제학과 학생들의 주적.
초등학생, 중학생들은 1차 연립방정식을 수학의 최종보스인 것처럼 여기곤 한데, 아래 항목에 있듯 1차 연립방정식은 매우 쉬운 축에 속하는 연립방정식이다.

가장 널리 알려진 연립방정식으로 맥스웰 방정식이 있다.

2 종류

2.1 1차 연립방정식

2.1.1 미지수가 2개인 일차 연립방정식(이원 일차 연립방정식)

중2의 꽃 이게 가장 쉬운거다
[math]\left\{ \begin{array}{c}ax+by+p=0\\cx+dy+q=0\end{array}\right.[/math]
위의 꼴로 정리되는 방정식을 뜻한다. 선형 연립 방정식이라고도 한다. 선형을 수식의 형태로 나타내면 일차가 되므로 같은 말이다. 선형대수학에서는 벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수로써 다루게 된다.

역사적으로 본다면 행렬은 연립 일차 방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까라고 고민한데서 시작했다. 아서 케일리가 연구하던 중에 [math] ad - bc [/math] 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 다르게 나오는 것을 보고 얘네가 해를 판별한다는 관점에서 determinant라고 부른데서 행렬식이 탄생했고, 윌리엄 로원 해밀턴이 '야, 그러면 연립 방정식의 계수랑 변수를 따로 떼어내서 쓰면 어떨까?'라는 생각에서 행렬이 탄생했다(그래서 역사적으로 따지고 보면 행렬식이 먼저 나오고 행렬은 나중에 나온 것이다).

연립 방정식의 풀이는 크게 두가지 관점으로 나뉘는데, '해가 존재 하느냐? 존재하지 않느냐?'라는 관점이 있고, '해가 존재해? 그러면 한 쌍만 나와? 아니면 여러개 나와?'라는 관점이 있다.
연립방정식 중에서 가장 만만한 녀석이므로 해법이 다양한 편이다.

  • 대입법 : 연립방정식의 한 식을 한 문자에 관해서 푼 후 다른 식에 대입해서 푼다.
  • 가감법 : 위 식에서 [math] (a - c)x + (b - d)y + (p - q) = 0 [/math] 꼴로 변환한다. 이 때 [math] a - c = 0 [/math] 또는 [math] b - d = 0 [/math] 이면 쉽게 풀 수 있다. 하지만 둘 다 0이 안 나오면 망했어요.아무 계수나 맞춰야한다. 그래서 귀찮아진다.
    • 가우스 소거법 : 위의 가감법을 행렬에 기반한 기계적인 알고리즘으로 바꾼 것. 가감법이랑 기본 원리는 같으며, 미지수가 3개 이상이 되어도 계산 순서가 바뀌지 않아 프로그래밍에 유리하다는 장점이 있다.
  • 함수로 변형 : 두 식을 [math] y = ax + b [/math] 꼴로 변형한다. 여기서 공통되는 유일한 y 값을 구하고 x 값을 구한다. 하지만 유일한 y 값이 없다면 답이 없다. 아니면 식 하나를 똑같이 [math] y = ax + b [/math] 꼴로 변형하고 다른 식의 y를 저걸로 치환해 버리든가.[1]
  • 역행렬 사용 : [math]\begin{pmatrix}a \quad b\\c \quad d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-p\\-q\end{pmatrix}[/math] 꼴로 바꿔서 역행렬을 구한다. 크래머 공식(Cramer's Rule)이라고도 하며 스위스 수학자인 가브리엘 크래머가 고안한 식이다.

2.1.2 1차 연립방정식의 일반적인 풀이

1차 연립방정식을 푸는 것은 생각 이상으로 중요한데, 대부분의 컴퓨터 시뮬레이션이 복잡한 방정식들을 1차 연립방정식으로 바꿔 이를 푸는 방식을 갖고 있기 때문이다. 기계공학에서의 FEM(Finite Element Method; 유한요소법)이 대표적인 예. 다만, 이러한 방정식들은 미지수가 기본적으로 몇백 개가 넘어가기 때문에[2] 손으로 푸는 것은 불가능에 가깝고, 위에서 언급한 방법 중 가우스 소거법이나 역행렬을 사용하는 방법을 n차 정사각행렬의 경우로 일반화하여 이용하게 된다. 실제로, 연립방정식을 일정 이상의 정확도로 빠르게 푸는 것은 초기 선형대수학의 중요한 과제 중 하나였고 이 학문이 발전하는 중요한 계기였다.

2.2 2차 이상의 연립방정식

[math]\left\{ \begin{array}{c}ax^{2}+by^2+cx+dy+p=0 \, \, \, \, \, \\a \prime x^2 +b\prime y^2 + c\prime x + d\prime y + q=0 \, \, \, \, \, \end{array}\right. [/math] 또는 [math]\left\{ \begin{array}{c}ax^{2}+by^2+cx+dy+p=0 \, \, \, \, \, \\mx + ny + q=0 \, \, \, \, \, \end{array}\right. [/math]

차수가 2 이상의 연립방정식은 1차 연립방정식에 비해 풀이가 많이 어려운 편이다. 보통 인수분해를 이용하거나, 미지수 하나를 상수취급하여 근의 공식을 사용하여 대입하는 방법도 있다[3].
고급 테크닉으로는 이 식에 미분(!!)을 해서 해를 구하는 경우가 있는데, 길을 잘못 들면 혹 떼려다 혹 붙이는 꼴이 되니 주의.

2.2.1 중등교육과정 이내에서의 풀이

여기서 중등교육과정이란 중학교와 고등학교 교육과정을 말한다. 대학교는 고등 교육과정.

2.2.1.1 이차식 & 일차식 꼴

일차식을 [math]x[/math]나 [math]y[/math]에 대하여 정리한 뒤 이차식에 대입하여 푼다.
예를 들어 아래와 같은 연립방정식이 있다고 치면,

[math]\left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = 5 \\ x+y=1 \end{array}\right.[/math]

[math]x+y=1[/math]을 [math]y=1-x[/math]로 정리하여 [math]x^2 + y^2 = 5[/math]에 대입하면
[math]x^2 + (1-x)^2 = 5 \,\, \Leftrightarrow \,\, \Leftrightarrow \,\, 2x^2 - 2x - 4 = 0 \, \, 2(x+1)(x-2)=0[/math]가 되어
[math]x=-1, 2[/math]가 나오고 이를 [math]y=1-x[/math]에 대입하여 [math](x, y) = (-1, 2), (2, -1)[/math]이라고 풀게 된다.
만약 대입해서 인수분해가 안 될 경우에는 울며 겨자먹기로 근의 공식을 쓰면 (복소수 범위에서) 무조건 해가 나온다.

2.2.1.2 이차식 & 이차식 꼴
  1. 인수분해가 되는 이차식이 하나라도 있으면 그걸 인수분해해서 이차식 & 일차식 꼴로 바꾸어 푼다.
  2. 인수분해가 되는 게 없으면 두 식에 적당한 수를 곱하거나 나누어서 서로 더했을 때 이차항[4]이 소거되는지 확인한다.
만약 가능하다면 위 1번의 인수분해가 되는 꼴로 바뀐다.
  1. 그래도 안 되면 상수항을 적당히 소거할 수 있는지 확인한다.
만약 가능하다면 위 1번의 인수분해가 되는 꼴로 바뀐다.
  1. 그래도 안 되면 포기한다
  2. 학원 선생님한테 맞는다.

2.3 연립미분방정식

[math]\displaystyle \left\{\begin{matrix} {dx \over dt} = x(\alpha - \beta y) \\ {dy \over dt} = - y (\gamma - \delta x) \end{matrix}\right.[/math]
뭇 수학자와 물리학 전공자들을 게슈탈트 붕괴로 이끄는 진 최종보스. 위의 방정식은 두 종류의 생물 간의 약육강식 관계를 선형화하여 나타낸 로지스틱 방정식의 일종인 로트카-볼테라 방정식.

식 한 개만으로도 푸는 사람을 괴롭게 만드는 식[5]이 둘 이상 있다고 보면 되는데, 이것이 얼마나 무시무시하고 끔찍한 상황인 지는 더 이상 말할 필요가 없다. 그나마 위의 식은 상미분방정식이라서 그나마 낫지만, 편미분방정식이 연립방정식으로 묶여 있다면... 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

단, 위에 언급된 로지스틱 방정식과 같이 1차 상미분방정식으로만 이루어진 연립미분방정식은 선형대수학의 이론을 사용하여 행렬을 이렇게 저렇게 만지작거려 일반해를 구할 수 있다. 보통 학부 수준의 선형대수학이나 미분방정식을 공부하면서 이를 배운다. 다만 이를 푸는 방법을 제대로 이해하려면 고윳값(Eigenvalue)이나 '함수를 벡터로 바라보는' 선형대수학적 개념을 반드시 알아야 하기에 궁금한 분들은 여기서 답을 찾지 말고 본인들의 전공책에서 해법을 찾는 것을 추천한다. 애초에 위의 과목들에서도 이에 대한 내용만 한 단원 전체에 걸쳐 다루기 때문에 여기다 서술하기에는 여백이 남아나지 않을 정도다. 공업수학 및 수리물리학 등에서 넘어야 할 산 중 하나.

[math]\displaystyle \left\{\begin{matrix} {\partial \mathbf{j}_s \over \partial t} = {n_s e^2 \over m}\mathbf{E} \\ \nabla \times \mathbf{j}_s = {n_s e^2 \over mc}\mathbf{B} \end{matrix}\right. [/math]
편미분으로 이뤄진 연립미분방정식 중 하나인 런던 방정식으로, 초전도체에 관련되어 있다. 익히 잘 알려져 있는 맥스웰 방정식도 편미분 연립미분방정식이다.
참고로 위와 같은 편미분 연립방정식은 전자기학과 양자역학에서 많이 출현한다. 그래서 전공자들은 매일 죽어나간다...

2.4 연립적분방정식

[math]\displaystyle \left\{\begin{matrix} \int_{0}^{\infty} w_1(x) J_{\mu} (xy) \psi (x) dx = f(y) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (y \in I_1) \\ \int_{0}^{\infty} w_2(x) J_{\nu} (xy) \psi (x) dx = g(y) \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, (y \in I_2) \end{matrix}\right. [/math] 출처
바늘 가는 데 실 간다고, 적분방정식에도 연립방정식이 있다. 이쯤 되면 무섭다...

미적분의 특성상 연립미분방정식은 발산 정리와 스토크스 정리를 통해 연립적분방정식으로 상호 변환이 가능하다.
  1. ↑ 그런데 이 때 [math] nxy [/math] 꼴의 항이 있으면 이차방정식이 돼서 풀기가 더 어려워진다(...). 항을 잘 보고 판단하자.
  2. ↑ 복잡한 방정식들을 1차로 '근사'하는 과정에서 미지수가 다량으로 발생한다. 따라서 미지수가 많아질수록 시뮬레이션의 정확도가 높아진다. 다만 계산 시간도 한참 늘어나겠지만...
  3. ↑ 1차 연립방정식의 대입법과 비슷하다.
  4. ↑ 여기서 이차항은 [math]x^2, y^2, '''xy'''[/math]항을 말한다.
  5. ↑ 당장 밀레니엄 문제 중 하나인 나비에-스톡스 방정식만 해도 1개짜리 식이다!