적분

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ʃ

적분이 없었다면 지금의 인류 문명은 만들어질 수 없었다.

1 개요

적분을 알게 되었다면 당신은 드디어 인류의 일원이 된 것입니다! - 한석원

나는 인류임을 포기하겠다! 하지만 2007 개정 교육과정으로 문과도 미적분과 통계기본을 배우게 되면서 적분을 약간이나마 배우게 되었다. 안습
미분 거꾸로 하면 되는거야!!
미분을 거꾸로 하는 것을 적분이라고 알고 있는 경우가 많은데, 미분을 거꾸로 하는 것은 적분의 정의가 아니고, 적분을 계산하는 방법인 것이다. 현재 고등학교에서 적분을 배울 때 미분을 거꾸로 하는 것을 먼저 배워서 많은 학생들이 이러한 오개념을 가지고 있다.

적분은 아래에서 기술되듯 고대 이집트 시절 나일강의 범람으로 인해 바뀐 토지면적을 지주들에게 측량, 계산해 알려주기 위하여 생겨났다. 이를 구분구적법이라고 부른다. 이와 비슷하게 적분의 기본개념은 일반적으로 계산할수 있는 직선등으로 면을 채워나가 계산하는 방법이다.

예를 들어, 원에 내접하는 정사각형을 그릴 때, 아무리 딱맞는걸 집어넣어도 테두리 4면이 남을것이다.(원의 한 호와 내접하는 정사각형의 한 변이 만들어내는 활꼴이 4개 생긴다.) 그럼 그자리에 더 작은 사각형을 집어넣어 그 남는 면적을 줄이고, 다음에는 더 작은 걸 채워서 줄이고...하는 것. 즉 오차범위가 0으로 수렴하게 되는것이다.

확률과 통계에서 사용하는 표준정규분포의 확률밀도함수의 기본적인 형태인 [math] e^{-x^{2}} [/math] 이런 단순해보이는 함수도 초등함수 수준에서는 부정적분이 있다는 것만 알지 어떻게 생겨먹었는지는 알 수 없다. 오히려 [math] e^{-x^{2}} [/math] 함수는 부정적분은 구할 수 없지만 [math] -\infty [/math] 에서 [math] +\infty [/math] 까지 이상적분은 극좌표와 야코비안을 이용해 [math] \sqrt {\pi } [/math]임을 구할수 있다.(이를 가우스 적분이라고 한다) 자세한 계산 과정은 대학 미적분학 교재를 참조. 이 외에도 타원함수 같은 경우는 선정적분 값을 근사치만 알 뿐 정확히는 알 수 없다.

2 역사

미분에 가장 근접한 개념이 처음 등장한건 피에르 드 페르마가 어떤 곡선의 접선을 구하기 위해 좌표기하학과 동시에 생각해냈지만, 그렇게 정식화된 것은 아니다.

정확히는 미분이 케플러의 행성운동법칙과 갈릴레이의 운동법칙을 설명하기 위해 뉴턴이 17세기 무렵 만든것으로 알려져 있다. 동시기에 이와는 독자적으로 라이프니츠 또한 미분의 개념에 대해 정의한 것으로 알려져 있다.

하지만 적분은 고대 이집트 시절까지 올라가는데 여기서 말하는 적분은 구분구적법이다. 당시 나일강의 범람 때문에 농토의 넓이가 해마다 변화되었고 지주들은 바뀐 넓이에 민감할 수 밖에 없었다. 이에따라 토지를 측량하는 측량술과 기하학이 발달하게 되었으며 곡선으로 둘러싸인 넓이를 간단한 도형의 넓이의 합으로 근사하는 방법이 발달하였다.

본격적으로 발달하게 된 것은 고대 그리스의 철학자인 아르키메데스인데, 그는 구분구적법을 정의하고 실제로 구의 부피와 겉넓이를 계산해냈다. 그리고 얼마나 자랑스러웠으면 묘비에도 이걸 적어놨다. 하지만 아르키메데스 이후 약 2천년간 적분은 발전하지 못했는데, 이후 17세기 여러 학자들에 의해 본격적으로 발달하였으며 리만이 엄밀한 적분의 정의를 내림으로써 현대와 같은 의미의 적분이 정의되게 된다.

위에서 적분의 역사를 설명하면서 미분이라는 단어를 사용했는가? 즉 적분은 미분과는 별개로 전혀 상관없는 학문으로 발달한 것이다. 하지만 미적분의 기본정리가 발견되면서 미분과 적분이라는 학문이 서로 동떨어진 학문이 아니고 서로 연관성이 있는 학문이라는 것이 본격적으로 연구되기 시작한 것이다. 항목 참고.

3 종류

적분은 크게 세가지로 나눌 수 있는데 우선 미분의 역연산으로서 정의되는 부정적분, 리만이 정의한 정적분, 그리고 특수한 경우인 이상 적분으로 구분된다.

• 부정적분은 미분의 역연산에 해당한다. 즉, 함수 [math]f\left(x\right)[/math]의 부정적분이 [math]F\left(x\right)[/math]라고 함은 다음과 같은 뜻이다.

[math]\displaystyle \frac {d}{dx}F\left(x\right) = f\left(x\right)[/math]

• 정적분은 리만합의 극한으로 정의된다. 닫힌구간 [math]\left[a, b\right][/math]의 분할 [math]P=\left\{x_0, x_1, \cdots , x_n \right\}[/math]가 있을 때 ([math]a=x_0\ltx_1\lt\cdots\ltx_n=b[/math]) 임의의 [math]t_i \in \left[x_{i-1}, x_i\right][/math]([math]i=1, 2, \cdots , n[/math])에 대하여

[math]\displaystyle \int^{b}_a f\left(x\right) dx =\lim_{\left\|P\right\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(t_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right) [/math]

만약 함수 [math]f\left(x\right)[/math]가 닫힌구간 [math]\left[a, b\right][/math]에서 연속이라면 미적분의 기본정리에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math]\displaystyle \int^{b}_a f\left(x\right) dx =F\left(b\right)-F\left(a\right) \left(\frac {d}{dx}F\left(x\right) = f\left(x\right)\right) [/math]

• 이상적분은 적분 구간이 무한대이거나 적분 구간에서 함수가 발산하는 점이 있는 경우이다. 당연히 극한의 개념이 필요하다.

• [math]\displaystyle \int^{\infty}_1 {1 \over x^2} dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int^{b}_1 {1 \over x^2} dx [/math]

• [math]\displaystyle \int^{-1}_{- \infty} {1 \over x} dx = \lim_{b \rightarrow - \infty} \int^{-1}_{b} {1 \over x} dx [/math]

• [math]\displaystyle \int^{1}_{0} {1 \over x} dx = \lim_{b \rightarrow 0+} \int^{1}_{b} {1 \over x} dx [/math]

• [math]\displaystyle \int^{1}_{-1} {1 \over x} dx = \lim_{b \rightarrow 0+} \left(\int^{1}_{b} {1 \over x} dx+\int^{-b}_{-1} {1 \over x} dx \right)[/math]

• [math]\displaystyle \int^{\infty}_{- \infty} {1 \over {x^2 +1}} dx =\lim_{b \rightarrow \infty} \int^{b}_{0} {1 \over {x^2 +1}} dx + \lim_{c \rightarrow - \infty} \int^{0}_{c} {1 \over {x^2 +1}} dx [/math]

물론, 필요에 따라 다양한 방법으로 적분을 정의할 수 있다. 예를 들어, [math]n[/math] -미분 다양체 [math]M[/math] 위의 미분 [math]p[/math] -형식들의 smooth singular chain들 위에서의 적분을 정의하고 이를 공부함으로써 우리는 다양체의 de Rham cohomology space [math]H^{p}_{\text{DR}}\left(M\right)[/math] 와 real singular homology space [math]H_{p}\left(M, R\right)[/math] 의 쌍대공간이 서로 naturally isomorphic 함을 알 수 있다. 이는 다양체 위의 몇몇 미분방정식들의 해의 존재성(해석학적인 문제)은 그들이 살고 있는 공간(다양체)의 위상에 의해 결정된다는 의미이다. 이 밖에도 우리의 목적과 우리가 다루는 대상에 따라 '적분'의 대수적인 정의나 기하학적인 이해와 같은 다양한 관점이 존재한다.

고등학교에서 배우는 적분 방법을 대학 이상 과정에서는 리만 적분이라고 한다. 우리가 일반적으로 말하는 적분이란 바로 이 리만 적분이다. 독일의 천재 수학자 베른하르트 리만이 만들었다.

수학과 전공자들은 리만 적분을 넘어서 르벡 적분(Lebesgue integral)과 측도론(measure theory)를 다룬다. 이것은 해석학의 마지막 장에나 나오기 때문에 학부 수준 수학과 전공자중에서도 보통 공부하지 않은 사람은 잘 이해하지 못하고 넘어가는게 대부분이다. 르벡 적분은 사실 실제 계산으로 사용되는게 아니라 개념적인 것으로서 주로 증명에 많이 이용된다. 르벡 적분이 가장 많이 쓰이는 곳이 바로 확률론이다.

이를 이용하면 리만 적분이 불가능한 함수에 대해서도 적분을 정의할 수 있게 된다. 예를 들어 [math] x [/math]가 유리수이면 [math] f\left(x\right) = 1 [/math] 이고 [math] x [/math] 가 무리수이면 [math] f\left(x\right) = 0 [/math] 인 디리클레 함수(Dirichlet function)를 0에서 1까지 리만 적분은 불가능하지만, 르벡 적분을 생각하면 적분값은 0이 된다. [math] \left[0,1\right] [/math] 에서 유리수는 가산집합이므로 측도는 0이고 무리수의 측도는 1이므로 [math]\displaystyle \int_{\left[0,1\right]}^{ } f d \mu = 1 \times \mu \left(\left[0,1\right] \cap \mathbb{Q}\right) + 0 \times \mu \left(\left[0,1\right] \cap \mathbb{Q}^c\right) = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0 [/math] 이다.

적분은 실수뿐만 아니라 복소수 범위 내에서도 하게 되는데, 복소수 자체가 2변수기 때문에, 자연스럽게 선적분을 사용하게 되며, 신기하게도 처음위치와 끝 위치만 같으면 '경로에 상관없이 모든 적분값이 같다' 라는 신기한 결론이 등장한다. 물론 피적분함수가 연속이고, 두 점을 잇는 경로들이 정의역 내에서 연속변형 가능하다는 가정이 있어야 한다.

4 기타

고등학교의 정의방법

닫힌 구간[math][a,b][/math]에서 연속인 함수 [math]f(x)[/math]에 대한 정적분은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \Delta x \quad \left( x_{k} = a + k \Delta x,\ \Delta x =\frac {b-a} {n} \right)[/math]

흔히 (고등학교 수학에서) 정적분을 정의할 때는 구간을 [math] n [/math] 개로 등분하고 그 분할간 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 통해 리만합을 정의하고 그 극한을 통해 정적분을 정의하는데, 이것은 특수한 경우이지 일반적인 경우가 아니다. 일반적으로는 리만합은 [math] n [/math] 개로 등분할 필요 없이 구간의 길이가 달라도 [math] n [/math] 개로 분할이기만 하면 되며 굳이 분할한 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 이용할 필요 없이 각 구간에 속하는 임의의 점의 함숫값을 이용하면 된다.(근데 이렇게 '아무렇게나 하면 된다'라는 말이 수학적으로는 오히려 제일 표현하기 어려운 경우라서 고등학교에서는 그냥 '똑같이 나눠서 오른쪽 끝 값을 더한다'라고 "뭉뚱그려서" 표현하는 것이다.)
그리고 정적분은 분할된 구간 중 가장 긴 구간의 크기를 0에 수렴하는 극한을 취한 리만합의 값으로 정의한다.

특정한 함수의 특정 구간에서의 정적분을 구해야 하는데 그 함수의 부정적분을 구할 수 없을 때는 수치적분을 이용하면 근삿값을 구할 수 있다. 이를 이용하면 정의역을 적절한 개수로 분할하고, 분할점에서의 함숫값을 구한 다음 이를 토대로 정적분의 대략적인 값을 구할 수 있다. 고등학교에서 배우는 좌리만합과 우리만합을 이용할 수 있고, 이 둘보다 일반적으로 더 정확한 중점리만합을 쓸 수도 있다. 그러나 이 셋보다는 훨씬 오차가 작은 사다리꼴 공식과 포물선 공식(Simpson's rule), Hermite's rule 을 수치적분용으로 많이 쓴다. 일반적으로(함수의 종류에 따라 다르기는 하지만) 포물선 공식과 Hermite's rule이 상당히 정확한 값을 낸다. 당연하지만 많이 분할할 수록 일반적으로 더 정확한 값을 얻을 수 있다. 분할하는 구간이 두 자리수가 되면 컴퓨터나 공학용 계산기를 쓸 수 밖에 없다. 계산기 중에서 간단한 프로그래밍 기능 등이 있어서 함수식을 저장하고 독립변수의 값에 따라 종속변수의 값을 내게 할 수 있다면 편리하게 구할 수 있다.

요즘은 컴퓨터 프로그램도 많이 좋아져서 매스매티카 등 계산 프로그램에서 부정적분, 정적분은 구하는데 해석학적 지식이 필요한 것이라도 어지간한건 다 구해준다. 울프램알파 같은 사이트 역시 마찬가지다.

그리고 정적분 값을 구해야 하는데 부정적분을 알 수 없을 때 치환 적분을 하거나 극좌표 혹은 구좌표계로 변환하는 방법을 쓰면 수학적으로 정확한 값을 구할 수 있는 경우가 있다. 대학교 수학(Calculus)에서 수많은 예를 보게 될 것이다. 또한 대학교에서는 여기서 끝나지 않고 차원을 확장해 이중, 삼중 적분(multiple integral)을 하거나, 특정 선 혹은 면을 따라 적분하는 선 적분(line integral), 표면 적분(surface integral), 부피 적분(volume integral) 등의 응용을 배우게 된다. 이과를 전공한다면 피해갈 수 없으니 미리 적분과 친해지자.

5 참조 항목

• 미분
• AP 미적분학
• 면적분
• 미분과 적분
• 미적분의 기본정리
• 미분방정식
• 미적분과 통계 기본
• 미적분을 배우지 않은 문과생
• 부분적분
• 부피적분
• 선적분
• 적분과 통계
• 중적분
• 치환적분
• 미적분 I
• 미적분 II