| 카탈랑 다면체 Catalan Solids | ||||
| 마름모십이면체 (↔육팔면체) | 마름모삼십면체 (↔십이이십면체) | |||
| 삼방사면체 (↔깎은 정사면체) | 삼방팔면체 (↔깎은 정육면체) | 사방육면체 (↔깎은 정팔면체) | 삼방이십면체 (↔깎은 정십이면체) | 오방십이면체 (↔깎은 정이십면체) |
| 사각뿔마름모십이면체 (↔깎은 육팔면체) | 사각뿔마름모삼십면체 (↔깎은 십이이십면체) | |||
| 연꼴이십사면체 (↔마름모육팔면체) | 연꼴육십면체 (↔마름모십이이십면체) | |||
| †오각이십사면체 (↔†다듬은 육팔면체) | †오각육십면체 (↔†다듬은 십이이십면체) | |||
| ()안의 다면체는 해당 카탈랑 다면체의 쌍대 다면체인 아르키메데스 다면체 †는 카이랄성 다면체(거울상이 원본과 같지 않은 다면체) | ||||
카탈랑 다면체 중 하나인 마름모삼십면체의 모습.
1 개요
마름모三十面體, Rhombic triacontahedron[1]
아르키메데스 다면체 중 하나인 십이이십면체의 쌍대 다면체. 면들이 모두 마름모형이기 때문에 이런 이름이 붙었다. 마름모의 예각의 경우 한 꼭지점에 5개, 둔각의 경우 한 꼭지점에 3개씩, 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모인다. 면의 형태 V3.5.3.5[2]이다.
면추이 도형이므로, 이론상으로 던졌을 때 각 면이 위에 올 확률이 모두 같기 때문에 공평한 삼십면 주사위로도 사용할 수 있으며, 삼십면체 중 가장 많이 볼 수 있는 주사위이다.
2 마름모삼십면체에 대한 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 32 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 60 | |
| 면(face, 2차원) | 30 | V3.5.3.5 마름모 |
| 쌍대 | 십이이십면체 |
한 변의 길이가 [math]a[/math]인 마름모삼십면체가 있을 때
마름모(면)의 긴 대각선의 길이 = [math]\displaystyle\sqrt{\frac{2}{5}\left(5+\sqrt{5}\right)}a[/math][3]
마름모(면)의 짧은 대각선의 길이 = [math]\displaystyle\sqrt{\frac{2}{5}\left(5-\sqrt{5}\right)}a[/math]
한 면의 넓이 = [math]\displaystyle\frac{2}{\sqrt5}a^2[/math]
내접구의 반지름 = [math]\displaystyle\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt5}}a[/math]
겉넓이(surface area) = [math]12\sqrt5a^2[/math]
부피(volume) = [math]\displaystyle4\sqrt{5+2\sqrt5}a^3[/math]
2.1 다른 도형들과의 관계
- 마름모삽십면체는 십이이십면체와 쌍대(Dual)[4] 도형이다.
- 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭지점 20개를 이으면 정십이면체가 된다.
- 마름모의 예각 5개가 모인 꼭지점 12개를 이으면 정이십면체가 된다.
- 위 방법으로 만든 정십이면체와 정이십면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체(compound)가 된다.