미적분Ⅰ

(미적분1에서 넘어옴)

틀:수능서술

2009 개정 교육과정 고등학교 수학 (14'~17' 高1)
공통수학Ⅰ수학Ⅱ미적분Ⅰ확률과 통계
자연미적분Ⅱ기하와 벡터
기초 선택 과목으로 기초 수학, 심화 선택 과목으로 고급 수학Ⅰ · 고급 수학Ⅱ가 있다.

1 개요

영칭(비공식): Basic Calculus Ⅰ[1]

미적분Ⅰ은 2009개정 교육과정에 따른 교과 교육과정[2][3]에 의거하여 새롭게 신설된 고등학교 수학과 교과목이다. 이 교과목은 2014년 고교 신입생부터 적용되고, 대학수학능력시험/수학의 출제범위 변동으로 치면 2017학년도 수능부터 적용된다. 수학 Ⅰ과 수학 Ⅱ를 선 이수해야 하는 선택 이수 과목이다.

2 상세

이 교과는 수열의 극한, 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법 등 4개 대단원으로 구성되어 있다. 2007 개정 교육과정과 비교하면 미적분과 통계 기본에 수학Ⅰ의 수열의 극한 부분이 넘어 왔고, 확률, 통계 단원은 확률과 통계 교과서에서 공부할 수 있다. 그 외 세부적으로는 기존 미적분과 통계 기본에 없던 롤의 정리와 평균값 정리가 추가됐다. 상경계 수학의 필수 단원이기에 문과용 미적분에 포함된 것으로 보인다. 다만 롤의 정리, 평균값 정리가 이과 출제범위에선 삭제되었다. 여담으로 이과생만 이수하는 미적분Ⅱ에는 이 교과에 없는 심화 미적분 관련 내용이 들어가게 되었다.

3 내용

3.1 Ⅰ. 수열의 극한

  • 수열의 극한

어떤 수열의 항의 번호가 계속 커질 때 그 값은 어떻게 변화하는지 알아보는 것. 그 특정 값에 가까워지거나 특정 값 그 자체가 된다면 수렴이라 하고, 그렇지 않은 것들[4]을 다룬다. 어떤 두 수열이 수렴한다면 서로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기[5]에 한해서 수열의 극한값의 연산이 가능하다. 이에 대해서는 증명 없이 받아들이도록 서술되어 있으며[6], 이 명제들을 기반으로 수열의 극한값의 계산을 다룬다. 참고로 이러한 수열의 극한의 성질을 이용해서 명제의 참/거짓을 판별하는 'ㄱ ~, ㄴ~,ㄷ~' 유형의 문제가 나오기도 하는데, 상당히 헷갈리기 쉽다. 극한의 성질을 정확하게 아는 것이 중요하다. 수열의 수렴과 발산, 수열의 극한값의 계산, 등비수열의 극한, 크게 이 3가지 부분에 대해서 공부한다. 기존에는 무한수열의 극한이라는 제목이였으나, 수열의 극한으로 명칭이 변화되었다. 로피탈의 가장 큰 먹이

  • 급수

어떤 수열의 n번째 항까지의 합, 부분합의 극한값. 어떤 수열을 계속해서 더했을 때 이 값이 어떻게 되는지를 다룬다.
"어떤 수열의 급수가 수렴할 시, 그 수열은 0으로 수렴한다"[7]는 성질을 써먹는 문제가 나오기도 하고. 등비급수 개념을 이용한 도형 문제가 수능에 매우 자주 출제되었다. 사실상 이 유형은 급수 파트의 존재 이유.[8] 미적분l 기출문제집들 상당수가 급수 파트에 이 유형을 무지하게 많이 때려박아둔다. 이 유형은 이론상으로 주어진 프랙털 도형 안의 삼각형, 원 등의 도형의 성질을 통해 첫째항과 공비를 구하고 식에 대입하면 끝이지만 그 첫째항과 공비를 구하는 과정이 한숨이 나오는 경우가 허다하다. 이 속에 숨어있는 닮음비를 구해내는 게 관건. 도형의 형태에 따라 첫째항이 좀 더럽게 나오는 경우가 있으니 계산을 조심해서 하도록 하며, 닮음이 아닌 경우도 종종 있으니 규칙성을 파악할 때 주의. 2010학년도에는 6월, 9월 모의고사 모두 3점으로 출제. 또한, 바로 닮음비가 나오지 않는다면 좌표평면을 그려보는 것도 방법이다. 이런 방식으로 쉽게 풀 수 있는 유형도 꽤 있다.
기존의 무한(등비)급수가 (등비)급수라는 명칭으로 변경되었다.[9]

3.2 Ⅱ. 함수의 극한

  • 함수의 극한

좌극한과 우극한의 기호가 변경되었다. 기존에는 x=1에서의 우극한이 "x→1+0"이었다면 이제는 0자를 빼고 "x→1+"로 쓴다. x=0일때의 좌극한과 우극한은 각각 "x→0-" 과 "x→0+"로 표시한다. 교육 과정이 개정되면서 x=-1에서의 좌극한과 우극한은 각각 x→-1+ 과 x→-1- 와 같이 표시하는 것으로 바뀌었다. 여담으로 선진국이나 대학 과정에서는 x→-1-, x→-1+로 표시한다.

문과 수준에서는 미적분 과목이라 해도 껏해야 다항함수만 다루기 때문에, 인수분해에 능하다면 반 이상은 먹고 들어간다. 좌우 극한이 같아야 '극한이 존재한다'라는 표현을 쓸 수 있다는 것과, 함숫값이 없다고 그 점에서 극한이 없는게 아니라는 점에 주의할 것. 어떤 두 함수가 x가 a로 가까이 갈 때 각각 유한하고 일정한 값을 극한으로 갖는다면 수렴하는 두 수열의 극한과 유사하게 서로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기(단, 나누는 수열은 0이 되선 안 되며, 그 극한 값이 0이 되서도 안 된다.)에 한해서 두 함수를 사칙연산해서 얻은 함수값의 극한의 연산이 가능하다. 이 부분도 사실은 대학교 미적분학은 가야 증명이 가능한 관계로 고등학교 과정에서는 증명없이 옳다고 인정하고 받아들여야 한다.

수학 1에서 나머지정리와 인수정리를 이용한 간단한 인수분해를 잘 익혔다면, 전국연합학력평가나 수능 모의평가 2,3점으로 출제되는 문제들의 풀이 시간을 20 ~ 30초는 아낄 수 있다. 즉, x→a일때 f(x)의 극한값(0/0꼴로 나타내어지는 f(x))을 구하라는 문제를 풀 때 쏠쏠히 써먹을 수 있는 것이다. 예를 들어 "f(x)=(x²+ax+b)/(x-1)에서 x가 1로 수렴할 때의 극한값이 4라고 할때 a²+b²=?" 같은 문제를 풀때, 인수분해를 익혔다면 f(x)의 분자를 (x-1)(x-b)로 인수분해된 식으로 놓은 다음 1-b=4라고 놓고 b=-3이라 구한 뒤 인수분해식 전개하여 a=2를 구할 수 있겠지만, 완벽히 기본기를 다지지 못한 학생은 그 문제가 나오면 x=1을 분자에 대입해서 1+a+b=0이라고 생각한 뒤 b=-a-1을 대입한 뒤에나 인수분해를 하게 되어 시간을 잡아먹게 될 수도 있다. 로피탈 쓰면 더 쉽지않나? 내신 서술형,논술에서 쓰면 좋은 감점요인이 됩니다 학교 선생님께 여쭤봐서 로피탈 정리 써도 되냐고 물어볼 것. 학교마다 다르다고한다 이과의 경우에는 로피탈을 썼다가 되려 피보는 문제도 있다. 가급적 쓰지말자 로피탈 쓰면 피보도록 문제를 만들어내는 것이 가능하다! 웬만하면 안 쓰는 것을 추천한다.

  • 함수의 연속

어떤 x값에 대한 함수의 극한값과 함숫값이 같다면, 이 점에서 연속이라고 정의한다.[10] 특히 전구간에서 연속인 함수는 연속함수라고 한다. 어떤 구간에 연속인 함수끼리는 더하거나 빼거나 곱하거나 나누거나(나누는 함수는 0이 아니고 극한값이 0이 아니다) 해도 연속이다. 이러한 연속성을 배움으로서 왜 이전에 배운 함수의 극한에서 대입하는 것처럼 처리하는지 이해할 수 있다.

문제는 어떤 점에서 불연속을 따지는 문제인데 어떤 점에서 불연속인 함수끼리 연산하더라도 그 점에서 연속인 함수가 생길 수 있다. 각각의 함수의 좌우극한/함숫값을 3번 따져서 그 점에서 연속인지 극한값이 존재하는지 따지도록 한다. 추천하는 방법은 선 함숫값 후 극한이다. 함숫값이 없는 점은 무조건 불연속이기 때문에, 극한을 따지는 것보다 훨씬 빠르게 배제가 가능하기 때문이다.

합성함수에 대해서 극한과 연속성을 따지는 문제들이 나온다. 특히 미적분1이 간접 출제범위에 불과한 이과의 경우 이 부분이 가장 중요하다. 미적분2에서 배우는 대부분의 함수들이 합성함수들이다. 여기서 기초를 매우 잘 다져야한다. 위에서 서술한 함수의 극한,연속성처럼 3번 따지는 것을 기반으로 매우 기초를 튼실하게 다져야한다.

등비수열의 극한 및 등비급수로 주어지는 함수들이 있다. 등비수열의 극한꼴로 나오는 함수들의 경우 x=-1, 1에서 연속 유무를 살펴보면 된다. 등비급수의 경우는 조금 더 복잡한데 보통은 공비가 -1<r<1을 벗어나지 않으니 첫항이 0이 되는 지점을 조심해서 살펴보자.

이 단원 역시 ㄱㄴㄷ유형이 등장하는데,정말 짜증난다.수열의 극한과 함께 2017 수능의 킬러문항으로 출제될 가능성이 높다. 명제와 합체?

기존에 중간값의 정리로 배웠던 내용이 사이값 정리로 명칭이 바뀌었지만, 명칭이 바뀐 것 외에는 차이가 없다.

3.3 Ⅲ. 다항함수의 미분법

  • 미분계수와 도함수

증분과 순간 변화율(미분계수), 미분 가능성을 정의하고, 이후 미분법의 공식과 곱의 미분법 등의 기초적인 미분법을 배운다.[11]

미분계수를 머리 X나게 깨지면서 배우고 다음 챕터인 도함수의 활용에서 미분법을 알고 나면 뭐야 미분 X밥이네 이거 할려고 저런 복잡한 걸 배운거냐...?라고 생각할 수 있지만 절대로 미분계수, 특히 미분계수의 정의와 표현식[12]을 소홀히 하지 마라. 미분계수의 정의와 표현식의 암기와 유도과정의 이해가 세트로 이루어져야 한다. 미분법 안다고 이거 대충 알고 있다가 모의고사 문제에서 탈탈 털릴 수 있다.[13]

  • 도함수의 활용

크게 보면 접선의 방정식, 평균값 정리[14], 함수의 증가와 감소, 함수의 극대와 극소, 함수의 그래프와 최대/최소, 방정식과 부등식에의 활용, 속도와 가속도의 7부분을 배우게 된다.미적분 1에서는 다항함수에 대해서만 다룬다.[15]

접선의 방정식은 [math]y-f\left(a\right)=f'\left(a\right)(x-a)[/math]인데 이렇게는 안나오고 뒤에 방정식에 응용해서 곡선과 직선개수 내는 이런거 잘나온다. 한번 풀어보자.

롤의 정리와 평균값의 정리는 공식만 외우고 있으면 문제 푸는데 별 지장은 없다.

함수의 증가와 감소는 함수 f(x)와 임의의 실수 a에 대하여 f'(a)>0이면 증가, f'(a)<0이면 감소이다. f(x)가 상수함수가 아닌 경우 f'(a)≥0이면 증가, f'(a)≤0이면 감소이다.

극대와 극소는 f'(x)=0해서 해당 2,3차 방정식의 해가 곧 극대와 극소이다. 단, 그 해에서 좌우의 부호가 같은 경우 극값이 아닐 수도 있다. 헷갈리면 증감표를 그려보면 된다. 그래프의 개형이 도함수의 모양에 따라 천차만별이니 적어도 삼,사차함수의 여러가지 개형은 알아두자.

최대와 최소가 힘든편이다. 극댓값, 극솟값 다 구해서 닫힌구간 [a,b]에 대해 최댓값과 최솟값을 묻는 문제인데, 극대, 극소, 왼쪽 끝 함숫값, 오른쪽 끝 함숫값 4개를 다 구해야 풀수 있다.(운좋으면 3개), 어렵다기보다 귀찮고 복잡하다.

방정식과 부등식은 그냥 풀면 되는데, 도함수를 통해서 극값 구한뒤 그래프의 개형을 대강 그려서 구해야 되는 유형이다.
함수를 보고 그래프의 개형을 그리는 연습을 반드시 하자. 함수의 증가/감소부터 방정식/부등식 파트까지 그래프 개형 그리기가 익숙해지면 매우 수월하게 문제를 풀 수 있다.

속도와 가속도는 위치 미분하면 속도, 한번 더 미분하면 가속도라는 것만 알면 된다. 변화율 활용 문제에서도 길이 넓이 부피 변화율 구할 때는 전부 미분 시키면 된다. 처음에는 헷갈릴 수 있지만 익숙해지면 제일 쉬운 부분이다.

주어진 조건에 맞춰 함수를 추론하여 해결하는 문제가 최고난도 문항으로 빈번하게 출제되었다. 예를 들면 2015학년도 수능 수학A형 21번. 익숙해지면 손쉽게 해결 가능한 문제들이니 충분히 준비하자.

3.4 Ⅳ. 다항함수의 적분법

  • 부정적분

다항함수만 하기 때문에 식 하나만 외우면 나머지는 순수 계산능력의 문제인데... 간혹 [math]\left(x+1\right)^5[/math]같은 합성함수의 부정적분을 구해야 할 때가 있다. 이런 경우는 치환적분을 도입하는 것이 빠른데, 이건 미적분2에 있는 내용이니 필요하다 싶으면 찾아볼 것. 의외로 써먹을 데가 많다. 단, 수업 중 선생님이 사용해도 좋다는 말을 하지 않는다면 문과 기준으로는 교육과정 외이기 때문에 서술형에는 써먹지 말자.[16]

  • 정적분

구분구적법으로 단원이 시작되는데, 이건 진짜 개념 이해 잘해야 된다. 안 그러면 뒤의 정적분과 급수 문제를 못 건드린다. [17] 적분 문제에 구분구적 쓸 일은 없겠지만, 수능에서는 거의 반드시 물어본다는 것에 유의하기 바란다. 그나마 빈칸 채우라는 거면 좀 낫겠지만, 빈칸에 들어갈 다항식에 숫자를 대입하는 거라면 많이 어려울 것이다.

부정적분도 모자라 주어진 적분구간을 대입해서 계산해야 되므로 레알 숫자계산 싸움이 된다. 함수의 대칭성을 이용해야 하는 유형이 몇 존재한다. 특히 절댓값 그래프를 적분하라는 문제가 나오면 구간을 쪼개야 하므로 더욱 귀찮다.

치환적분을 이용하면 쉽게 풀리는 문제도 가끔 나온다. 다만 치환을 하는순간 적분구간이 바뀐다는 점에 주의할 것. 이것도 치환적분 부분을 찾아보면 자세히 나온다. 물론 치환적분은 앞에서 말했듯 미적분2 과정이니 서술형에는 쓰지 않도록 하자.

'정적분과 급수'라는 소단원이 존재하는데, 이게 이 단원의 진정한 킬러다. 구분구적법에 의한 급수식과 정적분 식을 자유롭게 변환할 수 있어야 하는데, 상술한대로 구분구적법의 개념이 제대로 안잡혀 있으면 곤란하다[18]. 참고로 수학 나형(舊 A형) 기준으로 이거 수능에 나오면 무조건 4점이다. 물론 반드시 급수식과 정적분식을 서로 변환해야만 풀 수 있는 것은 아니다. 대부분의 문제는 급수식을 주고 그걸 계산한 결과를 구하라고 하는데, 그냥 단순무식과격하게 식을 전개해서 시그마 돌린 다음에 극한 때려도 답이 그대로 나온다. 그냥 계수가 1인 k에 대한 t차항을 0부터 n까지 돌리면 계수가 t+1인 k에 대한 t+1차항이 나온다는 것만 알면 그대로 풀 수 있다.

  • 정적분의 활용

도형의 넓이[19]와 속도와 거리를 배운다. 이때 물리에서 쓰는 개념인 변위가 등장한다. 입체도형의 부피 관련 내용은 미적분Ⅱ에 있기 때문에 문과는 배우지 않는다.
도형의 넓이는 구간정해서 적분시킨뒤에 수치 대입해서 풀면 되는데 자연수로 나오면 상관없으나, 분수로 나오면 상당히 귀찮다. 일일히 다 통분시켜서 계산해야 되기 때문에 실수도 있을수 있으며 오차가 생길수도 있다. 포물선 넓이 공식[20]이 있는데, 그건 서로 다른 두 실근을 가지는 이차함수 혹은 세 실근을 가지며 그 중 한 개가 중근을 가지는 삼차함수일 때만 쓰인다.
거리는 위치, 변화량, 거리 공식만 알고 있으면 해결하는데 지장은 없다. 한가지 짚자면 서로 비슷해서 헷갈릴수 있으니 유의바람.

4 대학수학능력시험 수학 영역

2017~2020학년도 대학수학능력시험 출제 범위
가형「미적분Ⅱ」·「기하와 벡터」·「확률과 통계」
(수학Ⅰ· 수학Ⅱ · 미적분Ⅰ은 간접 출제)
나형「수학Ⅱ」·「미적분Ⅰ」·「확률과 통계」
(수학Ⅰ은 간접 출제)

추가 및 수능 관련 서술 분리 바람.

5 여담

  • 이 교과목과 함께 새롭게 신설된 교과목에는 미적분Ⅱ가 있다. 눈치가 빠르다면 어느 정도 예상했을 수도 있지만, 미적분Ⅰ에서는 다항함수의 미적분을 다루고 미적분Ⅱ에서는 초월함수의 미적분을 다루게 된다. 문과 학생들은 미적분Ⅰ을 이수한 뒤 확률과 통계만 배우면 수능 범위가 모두 끝난다. 다만 수능직접출제범위는 신설 이전의 과목의 분량보다 많다는게 함정 물론 이과에 해당하는 학생들은 미적분Ⅰ과 미적분Ⅱ를 모두 배우게 된다. 당연하게도 미적분Ⅱ는 미적분Ⅰ을 선이수해야 하는 선택 이수과목이다. 참고로 절대로 이과생은 미적분Ⅰ을 소홀히 해서는 안 된다.[21]
  • 2017년 수능부터 적용되는 과목이다. 문과가 볼 나형의 출제범위는 수학Ⅱ, 확률과 통계, 미적분Ⅰ으로 확정되었다. 수능 개편 논의 당시 문과와 이과의 실질적인 구분 자체를 없애는 방안이 나왔으나, 문이과의 실질 통합이 시기상조라는 여론이 우세해 최종적으로는 통합이 유보되었다. 미적분 두 과목이 수능 수학의 난이도/시험범위 구분 자체가 철폐될 경우 모두 수능 수학의 필수 과목으로 지정될 가능성도 있었으나, 개편안의 완화에 따라 자연스레 취소.(대학수학능력시험/역사의 2017 수능 개편안 단락 참조)
  • 이 교과에서 다루는 내용은 2007년 개정 교육과정에서 여러 권의 교과서에 분할되어 있었다. 즉 과거 B형 선택자 기준으로 미적분은 수학 Ⅱ와 적분과 통계로, A형 선택자 기준으로는 미적분과 통계 기본으로 이원화되어 있었다. 2011년 교과 교육과정에서 현재와 같게 바꾼 것이, 이런 점을 해소하기 위한 조치로 보인다.
  • 이 과목의 의의는 문과생들에게는 미적분의 기본적인 개념을 심어주는 것이고, 이과생들에게는 미적분Ⅱ에 나오는 심화 내용을 배우기 위한 발판이다. 다만, 문과생이라 해도 상경계으로의 진학으로 고려하거나 상경계를 전공한다면 고교 문과 수학에서 다루는 미적분은 상경계 수학에서 다루는 미적분의 일부라는 점을 유의해야 한다. 대학 상경계 수학(경제수학, 경영수학)에서 다루지만 고교 문과수학에서 빠진 미적분 중에 초월함수(로그함수, 지수함수)의 미적분은 이과용 과목인 미적분Ⅱ에 나오는 부분이고, 음함수와 매개변수의 미분은 이과용 과목인 기하와 벡터에 나오는 부분이고, 편미분은 고급수학에 등장하며, 전미분법은 대학에서나 배우는 것들이다. 물론 미적분Ⅰ에 나오는 다항함수의 미적분은 미적분의 기본이므로 상경계 지망자라면 제대로 공부해두는 것이 좋다.
  • 수능/모평에 출제될 때 개정 전 미통기 시절보다 어렵게 출제될 것이라는 게 중론이다.[22]미분 파트부터 어떻게 나올지는 6평 뚜껑을 따보면 가닥이 잡힐 듯.....이었지만 평가원이 본수능에서 어떤 방향으로 출제될지 예측 못하도록 연막을 친 건지 최소한의 변별을 위한 몇 문제 빼고 나머지는 배점 불문 상투적인 개념문제 수준의 문제들만 포진한 하품나오는 난이도로 6평을 출제해 9평을 기다릴 수밖에 없게 되었다... 만 9평 역시 평이한 난이도로 출제 되었다. 허나 21번 문제[23]가 굉장히 어려운 난이도로 출제되어 수능의 난이도를 가늠하기 더더욱 어렵게 되었다.
  • 문과 상위권 수험생의 경우 삼각함수 파트를 제외한 미적분Ⅱ의 개념을 참고할 것을 권장한다. 미적분2에 나오는 접근법이 여러모로 도움이 될 수 있다 카더라.[24]
  • 미적분1, 2를 배우고 있는 고2, 고3 학생들은 로피탈 정리 사용은 지양하자. 단순한 계산뻘짓인 로피탈 정리를 본 시험에서 써도 되긴 하지만, 수학적 사고력을 기르는 과정에서 로피탈 정리를 쓴다는 것은 사고력을 죽여놓는거다. 그래서 시험이 아닌 자습시간이나 다른 시간에 미적 1, 2를 공부하고 있다면 로피탈 정리를 좀 지양하자. 특히나 이과는 로피탈 정리로 답이 안나오게 내는 경우가 있으니 주의.[25]
  • 다음 교육과정인 2015개정교육과정에서는 이 교과서에서 수열의 극한만 빠진 채로 명칭이 수학Ⅱ로 바뀐다. 기존의 수학Ⅱ는 고등학교 1학년 수학과 수학Ⅰ으로 대체된다. 그냥 과목명만 옮겨다니는 것이라고 생각하면 될 듯.
  1. ↑ 출처가 불분명하므로 출처 확인 시 각주 삭제 후 요약 바람.
  2. ↑ 교육과학기술부 고시 제2011-361호
  3. ↑ 2011교과 교육과정
  4. ↑ 주로 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동하는 경우.
  5. ↑ 단, 나누는 수열은 0이 되어선 안 되며, 그 극한 값이 0이 되어서도 안 된다.
  6. ↑ 최소 대학교 미적분학 정도는 끌어와야 증명이 가능하다. 고등학교 미적분 내용 중에는 대학교 미적분학으로도 증명이 어려워서 수학과 2학년 과정인 해석개론 정도는 끌어와야 증명이 가능한 내용도 일부 있다.(예: 최대-최소 정리, 중간값 정리)
  7. ↑ 역은 성립하지 않는다. 주의할 것. 예를 들면 수열 1/n의 경우, n→∞ 일때 극한값이 0이지만 급수는 발산한다.
  8. ↑ 원래 매년 출제되었으나 2015학년도 수능에서 이 기록이 깨졌다. 하지만 다시 나오지 말라는 법은 없기 때문에 공부할 필요가 없다는건 아니다. 다만, 미적분1이 간접출제범위로 바뀐 이과의 경우에는 나올 수 있을지는 미지수.
  9. ↑ 사실은 급수라는 단어 자체가 무한이란 뜻을 포함하기 때문에 급수라고 부르는 것이 더욱 적절하다.
  10. ↑ 극한값 존재와 헷갈릴 수 있다. 가끔 이 부분을 실수할 수 있으니 조심할 것. 그래프 상에서 극한은 구멍이 뚫려있어도 한 곳으로 모이면 존재한다고 정의할 수 있지만, 연속은 극한값 존재라는 조건 뿐만 아니라, 그 구멍마저 메워져 있어야한다.
  11. ↑ 정석에는 미적분1에 합성함수의 미분법이 다루어져 있다.
  12. ↑ [math]\displaystyle f'\left(a\right) = \lim_{x \to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right) \over x-a}\ = \lim_{h \to 0}{f\left(a+h\right)-f\left(a\right) \over h}[/math]
  13. ↑ 조건을 주고 이걸 이용해서 풀라는 문제나 ㄱㄴㄷ중 맞는거 고르라는 유형에서 미분계수가 중요해지는 경우가 많다.
  14. ↑ 이과만 배웠으나 개정 교육과정에서 추가
  15. ↑ 초월함수 부분은 미적분2에서 배운다. 음함수의 미분법, 매개변수 함수의 미분법이나 평면운동에 대해서는 기하와 벡터에서 배운다.
  16. ↑ 정석 풀이법을 가르쳐주긴 하는데, 이해하긴 좀 어려울 것이다. 치환적분이나 정석이나 합성함수의 미분을 역이용하는 건 같다.
  17. ↑ 이것은 구분구적법 식을 정적분으로 환원시켜야 하기 때문이다!
  18. ↑ 1/n을 dx, f(a+bk/n)을 f(x), 리미트랑 시그마를 인테그럴 로 해석하면 그나마 이해하는데 도움된다.
  19. ↑ 다항함수만. 초월함수는 미적분2에서
  20. ↑ [math]\displaystyle \int^{b}_a p(x-a)(x-b) dx = {\left| p \right| \over 6}(b-a)^3 [/math], [math]\displaystyle \int^{b}_a p(x-a)^2(x-b) dx = {\left| p \right| \over 12}(b-a)^4 [/math]
  21. ↑ 그러다가 진짜로 망하는 수가 있다. 예를 들어 평균값정리는 수능뿐 아니라 수리논술에서도 자주 등장하는 개념이며, 사잇값 정리는 근의 존재여부를 따질 수 있는 중요한 도구이고, 수능완성 문제와 기출문제에 출현하는 개념이다.
  22. ↑ 사실 현재 개정 미적분l를 배우는 학생 입장에선 미통기 시절 A형 기출은 '이게 왜 4점?'할 문제가 꽤 있다. 그래서인지 시중의 상당수 미적분l 기출 문제집들은 같은 내용이여도 어려운 B형(가형)문제가 많다.
  23. ↑ 대개 미적분 문제가 출제되며, 30번 문항과 더불어 수능에서 등급을 가르는 킬러문항의 역할을 한다. 참고로 올해 6월에는 역대급으로 쉽게 출제되었다.
  24. ↑ 상위권이 아니더라도, 무리함수와 합성합수의 미분법 정도는 알아두면 매우 유용하다. 로피탈의 정리를 더 폭넓게 사용할 수 있게 되기 때문에 계산 시간을 상당히 단축할 수 있을 것이다.
  25. ↑ 초월함수의 성질을 이용해서 같은 꼴이 계속 반복되도록 만들거나, 오히려 더 복잡한 미분을 하도록 만들어버린다.