수리물리학

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영어: Mathematical Physics

1 개요

공대에 공업수학이 있다면 물리학과에는 수리물리학이 있다![1][2]
간단히 말해 물리학을 다루기 위한 수학을 배우는 과목이다.

2 상세

줄여서 수리물리라고도 한다. 혹은 물리수학이라고 칭하기도.[3]

자연과학의 왕과 여왕이 만나서 낳은 자연과학의 왕자 또는 공주라 카더라

물리학과에 진학했을시 전자기학[4]이나 양자역학[5], 통계역학[6]과 같은 여러 물리 분야들을 제대로 다루기 위해서 그에 맞는 수학적 툴이 필요한데 이러한 툴들을 터득하기 위해서 공부하게 되는 과목이다. 보통 물리학과 2학년생[7]들이 2~3학기 동안 갈려나가게공부하게 되는데, 공업수학을 공과대학에서 가르치는 것 처럼 수리물리학도 수학과가 아니라 물리학과에서 가르친다. 그런데 물리학에 필요한 수학이 과연 한두개인가. 뒤에 배우는 내용에서도 나오지만 어마어마하게 많다! 좀 과장 보태서 공업수학보다 수리물리학의 진도가 훨씬 빨리, 더 많이 나간다고 보면 된다.

근데 사실 이 둘을 같은 선상에서 비교하기 곤란한게, 엄연히 물리학과 공학이 지향하는 바가 다르고, 거기에 필요한 것도 다 다를 수밖에 없다. 일례로 미분방정식을 들으면 공대에서는 여러 가지 미분방정식의 종류와 여러 풀이 방법 및 Matlab을 이용한 '수치해석'적인(=실용적인) 해에 초점을 맞춘다면, 물리학과에서는 어떤 미분방정식의 해에 해당하는 함수들을 중점적으로 공부하게 된다. 당장 공업수학 책과 수리물리학 책을 같이 두고 미분방정식 파트를 비교해 보아라. 그 차이를 확연히 알 수 있을 것이다.[8] 또한 텐서도 일반적인 공업수학 책에서는 찾아보기 힘든 반면 웬만한 수리물리 책에는 반드시 있다.어? 그럼 응력은 어떻게 할겨???[9][10][11]

그밖에 Green's Function이라던지 변분법이라던지 군론과 같은 내용들 또한 거의 물리학과 '전용'으로 공부하는 내용들도 매우 많아서 오늘도 물리학과생들은 갈려나간다...

이렇게 고통스러운 과목이고 배우는 양도 상상을 초월하지만... 그렇다고 수리물리를 소홀히 공부해두면 각종 전공필수수업에서 수학적인 내공이 부족해 아예 바보가 되는 경우도 생긴다. 물리학은 자연철학의 수학적 해석이라는 것을 잊지 말자.

다만, 일부 학교에서는 선행 과정으로 수학과에서 개설하는 선대, 미방, 복소 등의 강의를 듣고 수리물리학을 듣기 때문에, 수리물리 강좌에서는 기본적인 내용보다는 좀 더 세부적인 부분에 집중하게 된다. 서울대학교를 예로 들면, 2학년 때 선대, 미방을 듣는 것을 권장하고[12] 2학년 2학기에 기본물리수학, 그리고 3학년 1학기에 물리수학이란 이름으로 본격 수리물리학 강좌가 개설되는 식.

다만 복소함수론은 수학과 커리큘럼에 따라 2학년 과목이 될수도 있고 3학년 과목일 수도 있다. 3학년 과정일 경우, 복소함수를 2학년 때 당겨듣지 않으면 복소파트를 들을 때 좀 골룸해질 수 있다. 물론 당겨듣지 않아도 보아스나 아프켄 책이 워낙 잘 만들어져서 따라갈 수는 있으나 상당히 벅차긴 하다. 본인의 상황에 따라 잘 선택할 것.

아프켄 이라는 교재로 많이 공부를 하는데, 가끔 개드립으로 아프켄이니깐 청춘이다 라는 말을 한다..아프니깐 청춘이다..

물리학도 여러분들의 추가바람

3 교재

국내외에서 흔히 밑의 두 권이 제일 많이 쓰인다.

  • Boas[13] - Mathematical methods in the physical sciences

상당히 쉽게쉽게 설명이 돼 있으며, 중간중간에 나오는 예제나 연습문제도 차근차근 따라가면 누구나 이해할 수 있을 정도로 친절한 책이다. 독학용으로도 괜찮고 그래도 어지간한 내용은 다 들어있기 때문에 급할 때 찾아보면 속성으로 공부할 수 있는 책.그래도 크레이직 공업수학보단 어렵다

  • Arfken - Mathematical methods for physicists

물리학 전공에서 출몰하는 수학은 이 책 한권만 있으면 이론물리 계열이 아닌 이상 수학적인 면만큼은 어지간해서 커버되는 무시무시한 책. 대부분의 물리학과에서 Arfken을 채택하고 있지만 난이도나 내용의 비약이 심히 안드로메다로 날라가는 수준이라 이 책으로 혼자서 공부하기에는 무리가 있다. 반면에 Boas는 그나마 친절한 설명에 낮은 난이도로 독학용으로는 적절하지만 Arfken보다는 다루는 범위와 깊이가 적다.

이밖에 Hassani, Shankar, Chow 등의 저서도 있는데 어째 다 존재감이 없다...몇몇 교수님의 경우 직접 책을 써서 하기도 한다
보통 Boas는 학부 과정에, Arfken은 대학원 과정에 적합하다는 평이 많다 학부과정 중에 Arfken을 마스터했다면 어지간해서는 수학 걱정은 안 해도 된다 . Arfken의 용도는 두가지로 학습용과 휴식용이 있다.

자신이 진성 이론물리학자가 되고자 한다면 Nakahara의 Geometry, Topology and Physics를 보게 될 것이다. 책 제목에서 보다시피, 물리 현상을 설명하기 위해서 위상수학까지 끌어다 쓰니 두개골이 변수분리 될 것 같은 체험을 할 수 있다.[14]

한양대 동영상강의를 제공하고 있다.

4 배우는 내용[15]

  • 무한급수, 멱급수
  • 복소수
  • 선형대수학
  • 편미분
  • 다중적분
  • 벡터해석
  • 푸리에 급수, 푸리에 변환
  • 상미분방정식
  • 변분법
  • 텐서해석
  • 특수함수
  • 미분방정식의 급수해; 르장드르, 베셀, 앙켈, 에르미트, 라게르 등[16]
  • 편미분방정식
  • 복소함수론
  • 확률과 통계
  • 군론
  • 각운동량[17]
교수님의 재량에 따라 다르겠지만 학부 과정에 맞춰서 위 내용을 전부다 배우지 않을 수도 있고, 악랄한 교수님이 걸리면 저기서 더 심화된 내용뭐라고요?을 팔 수도 있다. 엄청 심한 경우에는 수학과 학부 과정조차 뛰어넘기도 한다.이게 다 그 망할놈의 아프켄 때문이다. 아프켄을 주깁시다. 아프켄은 나의 원쑤 요즘은 보아스하고 아프켄을 같이 쓰는 교수님도 있다.
  1. ↑ 하지만 이걸 공부한다면 공업수학 따위소리가 절로 나올 것이다.
  2. ↑ 내용이 더 어렵다기 보다는 공업수학과 수리물리학이 추구하는 방향이 다르기 때문에 더 어렵게 느껴지는 것이다.
  3. ↑ 사실 이쪽이 더 정확한 표현이다. 공학에 필요한 수학을 공학수학이라고 하지 수리공학이라고는 안하듯이 물리학에 필요한 수학 또한 물리수학이 더 바람직한 표현이다. 대부분의 교재 역히 Mathematical Methods in Physics 정도로, 물리를 위한 수학적 방법으로 표기하고 있다.
  4. ↑ 당장 맥스웰 방정식 자체가 편미분방정식이다. 그 외에도 벡터 해석학 등 내용을 제대로 이해하지 않으면 식 자체가 무슨 내용인지 전혀 이해하지 못하는 경우가 다반사.
  5. ↑ 복소수는 기본으로 깔고 들어가고 선형대수학, 편미분방정식, 특수함수, 군론(!)조차 필요하다.
  6. ↑ 다른 분야에 비해선 수학적 압박이 덜하지만 르장드르 변환이라던지 각종 확률론적 기초가 없으면 곤란해지는 경우가 생긴다. 물론 좀 심화내용으로 양자역학과 섞이는 순간부턴 헬게이트 시작...
  7. ↑ 하지만 연세대학교의 경우 4학년초과학기 과목으로 지정되어있다.그래봤자 물리학과나 천문학과 교수님들은 다들 2학년 때 들은 줄 안다. 사실 연세대의 경우 사정이 다른게 다른학교에서 2학년 수리물리학에 배울만만한 기초내용은 이과대 공통과목인 고등미적분학으로 해결하기 때문에 심지어 공업수학 책으로 배운다. 4학년의 수리물리학은 대학원과 공유하는 심화 수준으로 나간다.(학부와 대학원에 같은 시간, 같은 장소로 동시에 개설되어 있기 때문에, 교수가 출석부 2개를 들고 들어온다.) 그래서 교수에 따라 다르지만 보통 Arfken을 빠짐없이 나간다.
  8. ↑ 굳이 설명하자면, 일반적인 공업수학 책에서는 1계미방, 2계미방, 연립미방 및 라플라스 변환과 함께 Series Solution(=특수함수)이 한 개의 챕터씩 차지하고 있지만, 수리물리 책에는 1,2계랑 라플라스는 그냥 뭉뚱그려 한단원에 소개되어 있거나 짤막하게 소개되어 있는 반면 특수함수는 함수 한개가 한 챕터씩 차지하는 경우도 있다. 그리고 그런 함수들은 대개 물리학 역사에서 중요한 물리 모델들을 미방을 동원해서 풀 때 꼭 등장해서 안 하고 넘어갈 수도 없는 노릇...
  9. ↑ 어치피 공대생들도 대학원 수준 쯤 되면 텐서에 익숙해져야 하므로 이걸 공부하는 건 마찬가지이다.(...)
  10. ↑ 학부 수준에선 3by3 행렬로 그려질 수 있는 수직응력, 전단응력 수준 에서 생각 할 수 있게끔 되어있다. 그것도 대부분 말로는, "수직 응력은 콘크리트 기둥 받치는 거고, 전단 응력은 금문교 볼트 끊어지는거!" 라고 현상만 이해 하면 어찌되든 상관없이 ... 모어써클이나 응력설 정도에서 문제 다 풀 수 있게 만들었다.
  11. ↑ 근데, 유체역학의 나비에 스톡스 방정식에 들어가게 되면서 텐서 라는 개념이 없으면 그라디언트 라던가에서 개념이해에 머리가 갈려나갈 수도 있다.
  12. ↑ 해석개론도 있지만 굳이 이것까지 들을 필요는 없다.
  13. ↑ 축빠들에게 유명한 그 보아스... 풀네임이 Mary Layne Boas인 할머니다. 보통 이공계 전공서적들은 여성이 저술한 경우는 끽해야 제1저자의 동업자인 부인/딸이 제2저자 또는 솔루션 저자로 참여하는 정도인데 Boas 수리물리 책은 여성이 저술한 전공서적이 해당 분야의 고전으로까지 인정받는 보기 드문 사례라 할 수 있다. 이 분은 2010년에 작고하셨고, 1992년에 사별한 남편 역시 수학자였으며 아들도 수학 교수가 되었다.
  14. ↑ 위상수학이 들어가는 이유는 그래핀을 연구하다 나온 떡밥인 위상부도체라는 녀석 때문이다.
  15. ↑ Boas 기준. 대체적으로 공업수학이랑 배우는 범위가 비슷하다.
  16. ↑ 학부 수준에서는 사실 Legendre, Bessel, Hermite , 잘해야 Laguerre이상으로는 잘 나가지 않는다
  17. ↑ 군론 각운동량은 Arfken