극한

'몬스터 헌터 4G'의 극한 상태에 대해서는 광룡 바이러스#s-5 문서를, 가정교사 히트맨 리본의 등장인물 사사가와 료헤이의 말버릇에 대해서는 사사가와 료헤이 문서를 참조하십시오.

• 상위 문서 : 수학 관련 정보, 해석학#s-1

極限 / Limit
국어적 의미로는 궁극의 한계.

1 개요

수열, 미적분이나 함수에서 주로 쓰이는 도구로, 뉴턴과 라이프니츠는 굉장히 모호한 의미인 '어떤 수는 절대 아니지만 그 수에 한없이 접근한다는 멋있는 개념을 들고와서 미분과 적분을 정의하는 데 아주 요긴하게 썼다.

2 수열의 극한

직관적으로 말하자면 [math]n[/math]이 무한히 커지는 상황에서 일반항 [math]a_{n}[/math]이 [math]A[/math]에 한없이 가까워질 때, [math]{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= A [/math]라 적으며, 이를 수열의 극한으로 삼는다. 여기서 한없이 가까워진다는 것의 의미가 모호하므로 수학적으로 엄밀한 정의가 필요하다.

엄밀하게는 수열이 수렴한다는 것을 [math]\epsilon - N[/math] 논법으로 정의한다. 이에 따라 수열 [math] a_{n} [/math] 이 [math]\alpha[/math]로 수렴한다는 것의 정의는 임의의 양수 [math]\epsilon[/math]에 대하여, [math]n\ge N[/math] 이면 항상 [math]\left|a_{n}-\alpha\right|\lt\epsilon[/math] 이 성립하게 되는 자연수 [math]N[/math] 이 존재한다는 것이다. 여기서 [math]N[/math]은 [math]\epsilon[/math]을 어떻게 두느냐에 따라 변화하는 값으로 [math]\epsilon[/math]에 의존한다는 뜻에서 [math]N\left(\epsilon\right)[/math]이라 표현하기도 한다. [math]N\left(\epsilon\right)[/math], 이 변수가 왜 필요한지 생각해보라. 이 변수가 없으면 수렴한다고 정의할 수 없다. 즉 이 변수가 없이 위 부등식만 있는 상황에서는 발산(진동)할 수 있다는것이다. [math] a_{n}[/math]이 [math]\alpha[/math]로 수렴한다는 것은, 아무리 [math]\epsilon[/math]을 작게 잡아도 어느 순간부터는 [math]a_{n}[/math]이 쭉 그 [math]\epsilon[/math] 범위 안에(즉, [math]a_{n}\in\left(\alpha-\epsilon,\,\alpha+\epsilon\right)[/math]) 들어간다는 것이다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 [math]\epsilon-\delta[/math] 논법을 참고하자. 설명이 잘 되어 있으니 그걸 이해하면 [math]\epsilon-N[/math] 논법도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

예를 들어 [math]{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}[/math] 임을 보이자. 임의의 양수 [math]\epsilon\gt0[/math]에 대해, [math]n[/math]이 충분히 커지면 [math]\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|\lt\epsilon[/math] 이 성립함을 보이면 충분하다. 이 때 [math]\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n+1}\right)[/math]이므로 [math]\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n+1}\right)\lt\epsilon[/math]인 [math]n[/math]을 찾으면 되는데, 이는 [math]\frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2} \lt n[/math]과 동치이다. 그런데 아르키메데스 성질에 의해 저러한 [math]n[/math]은 존재한다. 따라서 이 [math]n[/math]을 [math]\epsilon-N[/math]논법에서의 [math]N[/math]으로 잡으면, [math]n\ge N[/math]일 때 항상 [math]\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}\right)\lt\epsilon[/math] 가 성립하게 되므로 [math]{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}[/math] 이다.

3 일변수 함수의 극한

이 문단은 점근선(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

[math]x[/math]가 한없이 [math]a[/math]에 가까워질 때 [math]f\left(x\right)[/math]이 한없이 [math]L[/math]에 가까워지면, [math]{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L[/math]이라 쓴다.

중요한 것은, [math]x[/math]가 한없이 [math]a[/math]에 가까워질 때 [math]x=a[/math]가 되지는 않는다는 점이다. [math]{\displaystyle \lim_{x\to2}}\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{x-2}[/math]에서 위아래를 약분할 수 있는 것도 바로 이런 정의 덕분이다. 다만, [math]x[/math]가 [math]a[/math]에 가까워지는 중에 [math]f\left(x\right)=L[/math]이 되는 경우가 있어도 무방하다.

[math]{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L[/math]이라는 것은 극한값 그 자체는 [math]L[/math]과 완전히 같다는 것이다. [math]f\left(x\right)[/math]의 극한값을 그렇게 '정의'한 것이다. 즉, [math]{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)[/math] 라는 식의 값은 더도 덜도 아닌 정확히 [math]L[/math]이다.

미분은 그래프의 두 점을 이은 직선의 기울기가 [math]\Delta y / \Delta x[/math]인데, 이때 "[math]x[/math]의 변화량이 한없이 작아지면 어떨까?"라는 생각으로부터 [math]\displaystyle \lim_{\Delta x\to\ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math] 라고 정의하게 되었다.

점근선(漸近線)은 그래프가 점점 가까워지는 특정한 직선을 말한다.
점근선은 세가지로 나뉜다. 수평점근선, 수직점근선, 사선점근선으로 보통 구분 짓는다.

[math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {f\left( x \right)} = a[/math] 또는 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {f\left( x \right)} = a[/math]이면 직선 [math]y = a[/math]를 함수 [math]f[/math]의 수평점근선이라 한다.

[math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} {f\left( x \right)} = \infty[/math] 또는 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} {f\left( x \right)} = -\infty[/math]이면 직선 [math]x = a[/math]를 함수 [math]f[/math]의 수직점근선이라 한다.

[math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty} {f\left( x \right)} = \pm\infty[/math]이고 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {\left[ f\left( x \right) - \left( mx+n \right) \right]} = 0[/math] 또는 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} {\left[ f\left( x \right) - \left( mx+n \right) \right]} = 0[/math] 이면 직선 [math]y = mx+n \left( m \neq 0 \right)[/math]를 함수 [math]f[/math]의 사선점근선이라 한다.

3.1 남용과 시련의 역사

고등학교 문제를 풀고 있으면 왠지 꼼수로 문제를 풀어나간다는 생각을 지우기가 힘든데, 솔직히 분모에 [math]0[/math]이 들어가면 안된다는, 이때까지 깨뜨리면 안된다고 알고 있었던 절대적인 명제를 '한 수에 한없이 다가간다'는 이도 저도 아닌 궤변으로 때워버렸다고 느낄 수도 있는 것이다. 실제로 고등학교에서 사용하는 문제들은 아무리 어려워봤자 간단한 고등 미적분 적용을 위한 미적분 기본문제 정도일 뿐으로 잠깐 눈물 좀 닦고 만일 제대로 된 접근 없이 고딩 미적분을 현실에 응용했다가 들어맞지 않는 경우도 많다.

미적분의 개념이 제시될 당시, 그러니까 함수와 극한의 개념이 모호해 무한소라는 개념으로 때워버렸을 당시에 많은 학자들이 혁명적인 개념이었던 미적분을 엄청나게 사용했다. 그러다가 미적분을 적용해서는 안될 식에서조차 적용해버려 결국 이상한 값이 나와버리는, 한마디로 주화입마 미적분 만능주의에 걸려버린 것. 그를 대체하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였다. 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 오일러는 활발히 극한을 사용했지만 직관력만 좋아서(...) 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다고 한다.

그렇게 미적분의 맹점이 몇 가지 발견되면서 비판이 나왔고, 특히 롤의 정리를 발견한 미셸 롤과 UC 버클리라는 이름의 근원이 된 조지 버클리가 맹렬히 비판했는데, 특히 버클리는 '사라진 값들의 유령'(the Ghosts of departed quantities)이라는 표현까지 빌려와 신랄하게 까내렸다.

예를 들어, [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ \left( x - 1 \right) ^2 }{ x - 1 } } [/math]의 극한을 구하는 경우를 생각해 보자. [math] x \rightarrow 1 [/math] 일때 [math] \left( x - 1 \right) \rightarrow 0 [/math]이지만 [math] \left( x - 1 \right) \ne 0 [/math]이라고 [math] \left( x - 1 \right) [/math] 을 약분해서 [math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1 }{ \left( x - 1 \right) } [/math] 로 만들고, [math] x \rightarrow 1 [/math] 일때 [math] \left( x - 1 \right) \rightarrow 0 [/math]이라고 극한을 [math]0[/math]이라고 했다. 앞에는 [math]0[/math]으로 가까이 가지만 [math]0[/math]은 아니라고 약분 했다가, 뒤에는 [math]0[/math]으로 놓아 버린다. 앞과 같은 논리라면 [math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1 }{ \left( x - 1 \right) } [/math]는 [math]0[/math]으로 가까이 가는거지 [math]0[/math]은 아닌 게 된다.

그래서 이 같은 논리를 설명하기 위해 코시나 바이어슈트라스 같은 사람이 극한의 엄밀한 정의를 내놓는다.

3.2 진정한 정의 : 엡실론-델타 논법

이 문단은 엡실론 - 델타 논법 · 입실론 델타(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

수학 갤러리의 개념글
드디어 18세기 수학자 코시가 엡실론 - 델타([math] \varepsilon - \delta [/math]) 논법을 꺼내들었다! 그야말로 철저하고 빈틈없는 정의로 이해만 하면 극한은 물론이고 다른 극한용 정리의 증명까지 쉽게 만들어 버릴 수 있는 최종무기나 다름없다. 물론 이해만 하면. 바이어슈트라스에 의해 고안되었다.

먼저, 엡실론-델타 논법을 사용해 새로 쓴 극한의 정의를 보자.

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f \left( x \right) } = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall x \left( 0 \lt \left| x - a \right| \lt \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L \right| \lt \varepsilon \right) [/math]

아래는 위키니트들을 위해 자연어로 작성된 좀 더 쉬운(?) 설명.

[math] x [/math]에 대한 함수 [math] f \left( x \right) [/math]가 있을 때,

임의의 양수 [math] \varepsilon [/math]에 대해 적당한 양수 [math] \delta [/math]가 존재하여
[math] 0 \lt \left| x - a \right| \lt \delta [/math]이면 [math] \left| f \left( x \right) - L \right| \lt \varepsilon [/math]가 될 때,
[math] x \to a [/math]일 때 함수 [math] f \left( x \right) [/math]의 극한값을 [math] L [/math]이라고 정의한다.
이때, 함수 [math] f \left( x \right) [/math] 는 [math] x \rightarrow a [/math]에서 [math] L [/math]에 수렴한다고 하며,
[math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = L [/math]이라고 한다.

수식을 자연어로 표현했을 때 얼마만큼이나 복잡해지는지를 알 수 있다. 물론 자연어를 수식으로 표현해도 복잡한 건 마찬가지라는 것도 알 수 있다.

엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 미적분 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 해석학의 엡실론 - 델타 논법 때문이다! 하지만, 다시 말해서 이거 가지고 해석학 이거저거 다 증명한다는 소리이므로 이걸 이해하는 것이 해석학에 있어서는 필수라는 것. 당연히 충분히 공부한 수학과 학생은 다 이것을 이해하고 있으며 이 정의가 굉장히 도움된다는 것을 느낄 수 있을 것이다. 굳이 수학과가 아니어도 어지간한 이공계 학생들이라면 대학에 입학하자마자 기초 미적분학의 첫 단원에서 이 논법을 만나게 된다.

이 논법이 충격으로 다가오는 이유는 처음 보는 사람들에게 있어서 언뜻 보기에 난해하기 때문이다. 위의 수학 갤러리 글에서도 나오듯이 '이해하기도 애매'하고, '왜 쓰는지 이해가 안 된다'는 것이 논법의 이해에 방해를 준다.

엡실론과 델타는 각각 error와 distance를 의미한다고 한다. error는 오차, distance는 거리라는 뜻이다.

3.2.1 설명

임의의 [math]\varepsilon\gt0[/math]에 대해 적당한 [math]\delta\gt0[/math]가 존재하여 [math]0\lt\left|x-a\right|\lt\delta[/math]이면 [math]\left|f\left(x\right)-L\right|\lt\varepsilon[/math]가 될 때,

가장 문제가 되는 부분이라면 역시 엡실론 - 델타 논법인 만큼 이 부분이 가장 큰 문제. 일단,

• 임의의 [math]\varepsilon\gt0[/math]이라는 말은 [math]\varepsilon[/math]이 어떤 양수여도 된다는 뜻이다. 거기에 적절한 [math]\delta\gt0[/math]가 존재하여 저 조건을 만족시키기만 하면 된다.

• 절댓값이 접근을 어렵게 하는 부분이 있는데, [math]\left|x-a\right|\lt\delta[/math]라는 것은 [math]x[/math]에서 [math]a[/math]까지 거리가 델타보다 작다는 것이고(하지만 [math]0\lt\left|x-a\right|[/math]니까 [math]x[/math]가 [math]a[/math]와 같지는 않다), [math]\left|f\left(x\right)-L\right|\lt\varepsilon[/math] 는 [math]f\left(x\right)[/math]에서 [math]L[/math]까지의 거리가 엡실론보다 작다는 의미. 절대값의 표기는 편리를 위함이니 걸리적거리면 풀어버려 [math]x[/math]와 [math]f\left(x\right)[/math]에 대한 부등식으로 만들어도 된다.

• [math]0\lt\left|x-a\right|[/math] 는 [math]x[/math]가 [math]a[/math]에 접근하지만 [math]x=a[/math]인 것은 아니라는 말의 수학적 표현.

• [math]x\to a[/math]로 갈때 [math]f\left(x\right)[/math]가 어디로 가는가를 생각하면 안된다. 거꾸로 [math]\left|f\left(x\right)-L\right|[/math]에 대한 값을 생각하고 그에 따라 [math]\delta\gt0[/math]값을 찾아야 한다. 이 논법은 극한의 존재성에 대해 논하는 것이지, 극한값을 찾는데 그 목적이 있는게 아니다.

즉, 위의 정의를 풀어 설명하면,

[math]{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L[/math]이라는 것은, 양수 [math]\varepsilon[/math]이 아무리 작아도 그에 따라 적절한 양수 [math]\delta[/math]가 존재하여, [math]x[/math]와 [math]a[/math]의 거리가 [math]\delta [/math]보다 작기만 하면(하지만 정확히 [math]a[/math]는 아니면) 항상 [math]f\left(x\right)[/math]와 [math]L[/math]의 거리가 [math]\varepsilon[/math]보다 작게 된다는 뜻이다.

더 쉽게 설명하자면,

[math]{\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L[/math] 이라는 것은, 양수 [math]\varepsilon[/math]을 아무리 작게 만들어도 [math]a[/math] 근처에서는 [math]f\left(x\right)\in\left(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon\right)[/math]라는 뜻이다.

이래도 안된다면, 한 수학갤러의 비유를 읽어보자.
핵심은 양수 엡실론에 비해 거기에 대응하는 어떠한 x값을 설정해도 그보다는 작다는 것이다.

세상에서 가장 재미있는 세계사로 유명한 수학 석사 '래리 고닉'의 또 다른 저서 '세상에서 가장 재미있는 미적분'(원제:The Cartoon Guide to Calculus)에서는 적절한 구간 내에서 어떤 [math]\varepsilon[/math]값이라도 그에 해당하는 [math]\delta[/math]값을 보여줄 수 있다는 식으로 설명해 놓았다.

3.2.2 또 다른 설명

출처

먼저, 처음의 애매한 문장으로 돌아가 보자.

[math]x[/math]가 [math]a[/math]에 한없이 가까울 때, [math]f\left(x\right)[/math]의 값도 [math]L[/math]에 한없이 가깝다.

'한없이 가깝다'가 수학적으로는 의미가 명확하지 않으니, 잘 정의되도록 해야 한다.

• 가깝다와 멀다를 확실히 말하려면, 특정한 기준이 존재해서 그 기준보다 작으면 가깝다, 그 기준보다 크면 멀다라고 할 수 있어야 한다.

그 기준을 양의 실수 [math] \epsilon [/math]이라고 정의하자.

• '한없이 가까울 때'는, '[math]x[/math]와 [math]a[/math]의 차이가 얼마나 작은 값이든'이란 말과 같다. 즉, '어떤 임의의 기준을 잡아도'로 해석할 수 있다.

그러면 이제 주어진 문장은 이렇게 바뀐다.

양수 [math] \epsilon [/math]의 값이 무엇이든 간에, [math]x[/math]가 [math]a[/math]에 한없이 가까우면 [math] \left| f \left( x \right) - L \right| \lt \epsilon [/math] 이다

'[math]x[/math]가 [math]a[/math]에 한없이 가까우면'도 기준 [math] \delta \gt 0 [/math]을 선언해서 위와 비슷한 방식으로 바꿀 수 있다. 하지만 [math]f\left(x\right)[/math]가 [math]L[/math]에 가까워지고 멀어지는 것은 [math]f\left(x\right)[/math]의 성질과 [math] \epsilon [/math]의 선택에 달려 있기 때문에, [math] \delta [/math]는 먼저 선언된 [math] \epsilon [/math]을 무시할 수 없다. 따라서 [math] \epsilon [/math]에 따른 [math] \delta [/math]를 적당히 잡을 수 있다면 최종 문장은 아래와 같다.

임의의 실수 [math] \epsilon \gt 0 [/math]에 대해, 적당한 실수 [math] \delta \gt 0 [/math] 가 존재해서, [math] 0 \lt \left| x - a \right| \lt \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L\right|\lt \epsilon [/math] 이다

이는 처음에 소개된 정의와 일치한다.

더 간단히 이야기 하자면, 엡실론 델타의 핵심은 두 수의 차이를 줄이는것이다. 다만 차이를 줄이고자 하는 비교대상이 셀수도 없이 많은 양수 [math] \epsilon [/math] 이기때문에... 각각에 대해 다 비교를 할 수 없기에 아무거나 찍어서 되게 만들수 있는지를 확인하는것이다.

3.2.3 예시

• [math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 3 }{ \left( 2x - 1 \right) } = 5 [/math] 임을 보여라.

일단 [math]2x-1[/math] 이라는 함수에 대해, 극한값 [math]5[/math]와의 거리를 생각하면 [math]\left| \left(2x-1\right) - 5 \right| = 2 \left|x-3\right|[/math] 이다. 이제 우리의 목적은, "[math]0\lt\left|x-3\right|\lt\delta[/math] 이면 [math]2\left|x-3\right|\lt\epsilon[/math]" 이 되는 [math]\delta[/math]를 찾는 것이다. 이 때 [math]\delta = \epsilon/2[/math] 로 놓으면 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.

따라서 임의의 양의 실수 [math]\epsilon[/math]에 대하여 [math]0\lt\delta=\epsilon/2[/math] 이라 두면, [math]0 \lt\left|x-3\right|\lt\delta[/math]일 때 [math]\left|\left(2x-1\right) - 5\right| \lt \epsilon[/math] 이 된다. 따라서 [math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 3 }{ \left( 2x - 1 \right) } = 5 [/math] 이다.

3.3 무한 그 너머로

[math]x[/math]가 발산하는 경우에 대해서도 극한을 정의할 수 있다.

[math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f \left( x \right) } = L [/math]

또는

[math] \displaystyle \lim_{ x \rightarrow - \infty }{ f \left( x \right) } = L [/math]

라는 식으로, 간단히 [math]x[/math]가 끝없이 커지거나 작아질 때, [math]f\left(x\right)[/math]는 [math]L[/math]에 접근한다는 뜻. 한가지 예제로,

[math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ \frac{4x^2 + x + 3}{-3x^2 + 2x - 8} } [/math] 에서 만일 모르고 본다면 분자분모 모두 무한히 커지고 있어 답이 없어 보이겠지만, 일단 절대 무한이 아니고, 그냥 수이기 때문에 비율이 존재한다. 답은 [math]-4/3[/math].

3.4 수렴과 발산

• 수렴 : 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 되었다는 의미로 사용한다. 즉 [math]x[/math]가 [math]a[/math]에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 [math]f\left(x\right)[/math]도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻.

• 발산 : 어떤 값으로 가까워지는지 모르거나 계산할수 없다는 뜻. 수렴하지 않으면 발산한다. 수열이 계속 커지는 양의 무한대로 발산, 수열이 계속 작아지는 음의 무한대로 발산이 있다.

[math]\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty[/math] , [math]\displaystyle \lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty[/math]

양의 무한대로 발산하지도 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않는 발산을 진동이라 한다. 예를 들자면 [math]1,\,-1,\,1,\,-1,\ldots[/math] 식으로 [math]1[/math]과 [math]-1[/math]이 반복되는 경우도 발산이다.

3.5 성질

고등학교 과정에서는 간단히 이러이러하다고 얼렁뚱땅 넘겼겠지만, 대학교 해석학에서는 저걸 모두 다 증명한다. 그리고 엡실론-델타가 존재하지 않으면 사실상 증명이 골룸해진다. 공식의 증명은 스스로 해 보거나 대학교 해석학 교재를 참고하자.
덤으로 이야기하자면, 모든 실수 값에서 연속이면서 모든 실수 값에서 미분 불가능한 실수 함수가 존재하는데, 이걸 증명할 때도 엡실론-델타가 필요하다.
다변수 함수/다차원 공간 등으로 가면 개/폐구간의 정의, 경계의 정의 등도 엡실론-델타를 이용해 정의한다.

[math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = \alpha [/math], [math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } = \beta [/math] ([math]\alpha, \beta [/math]는 실수)라고 한다면, 아래의 법칙들이 성립한다.

• [math]\displaystyle \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = \alpha' \right\} \Longleftrightarrow \left( \alpha' = \alpha \right) [/math]
• [math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ k } = k [/math]
• [math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ k f \left( x \right) \right\} } = k \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } \right\} = k \alpha [/math]
• [math]\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left\{ f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\} =\left\{ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\right\} \pm\left\{ \lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)\right\} [/math]
• [math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ f \left( x \right) g \left( x \right) \right\} } = \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } \right\} \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } \right\} = \alpha \beta [/math]
• [math]\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \frac{ f \left( x \right) }{ g \left( x \right) } } = \frac{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } }{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } } = \frac{ \alpha }{ \beta } \left( \beta \ne 0 \right) [/math]

참고로, 함수의 극한에 대한 성질은 극한값이 존재할 때만 성립한다. 또한, 이 성질은 우극한과 좌극한일 경우와 [math]x[/math]를 무한대로 보낸 경우에도 성립한다.

3.6 조임 정리(Squeeze Theorem)

샌드위치 정리(Sandwich theorem)이라고도 불린다. 왠지 장난 같은 이 용어가 실제로 학계에서 쓰이는지 알수는 없으나 어쨌든 한국 학생, 교사들이 자의적으로 만들어낸 건 아니고 영미권에서도 쓰이는 용어이다.

함수중에서 어떤 값에 의해 유계되며 진동하는 함수나 그러한 함수의 극한값을 직접 구하는 것은 힘들다. 하지만 그 함수와 같은 극한값을 가지는 두 함수 사이에 존재한다면 함수의 극한값을 구하는 것이 가능하다. 이거 이용해서 그 유명한 [math] \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1 [/math]을 증명할 수 있다. 관심있는 위키러라면 한 번씩은 꼭해보는것을 추천한다.

함수 [math] f, g, h [/math]가 [math] x \neq c [/math]인 점 [math] c [/math]를 포함하는 개구간에 있는 모든 [math] x [/math]에 대하여 [math] g \left( x \right) \leq f \left( x \right) \leq h \left( x \right) [/math]이고 [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ g \left( x \right) } = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ h \left( x \right) } = L[/math]이면, [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ f \left( x \right) } = L[/math]이다.

3.6.1 예시 1

• 알다시피 [math] \cos \left(\frac{1}{x}\right) [/math]은 [math] 1 [/math]보다 작고 진동한다. 그렇다면 [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} [/math]의 극한값을 구해 보자.
• 모든 [math]x(\neq0)[/math]에 대하여 [math]-1 \leq \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1[/math]이다. 또한 [math]x^2[/math]을 모든 식에 곱하여도 부등호의 변화가 없음으로 [math]-x^2 \leq x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2[/math]이다. [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{-x^2} = 0 = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2}[/math]이므로 조임 정리에 의해 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} = 0[/math]이다.

3.7 로피탈의 정리(l'Hôpital's rule)

극강의 비기. 해당문서 참고. 근데 이건 미분과도 관련이 있으니 미분 항목도 참조.

4 이변수 함수와 다변수 함수의 극한

이변수 함수의 극한은 [math] \displaystyle \lim_{\left( x, y \right) \rightarrow \left( a, b \right) }{f \left( x, y \right) } = L[/math]이라 쓴다. 대략적인 뜻은 [math] \left( x, y \right) [/math]가 한없이 [math] \left( a, b \right) [/math]에 가까워질 때 [math] f \left( x, y \right) [/math]이 한없이 [math] L [/math]에 가까워진다는 뜻이다.

일변수 함수에서는 [math] x [/math]가 [math] a [/math]에 가까워지는 방법이 좌극한과 우극한으로 딱 두가지 밖에 없었다. 하지만 평면에서 점 [math] \left( x, y \right) [/math]가 점[math] \left( a, b \right) [/math]로 가까워지는 방법은 무한히 많다. 굳이 직선경로를 따라가며 가까워질 필요가 없기 때문이다. 따라서 점 [math] \left( x, y \right) [/math]가 이 무한한 수의 경로를 따라 [math] \left( a, b \right) [/math]에 가까워 지면 그러한 경로에 따른 함숫값 [math] f \left( x, y \right) [/math]가 모두 [math] L [/math]에 가까워져야 한다.

4.1 이변수 함수에서의 정의

위에 나와있는 직관력만 무한히 좋은 극한의 정의는 수학에서는 좋아하지 않으니 코시의 엡실론 델타로 다시 정의해야 한다. 하지만 코시의 엡실론 - 델타 논법은 일변수 함수에서의 극한이므로 그대로 적용하여 정의하기는 힘들다. 코시의 엡실론 델타를 변형시켜서 적용하면 다음과 같다.

이변수 함수 [math] f [/math]는 중심이 [math] \left(a, b \right) [/math]인 원의 내부에서 정의된다고 하자. 이때 [math] \displaystyle \lim_{\left( x, y \right) \rightarrow \left( a, b \right) }{ f \left( x, y \right) } = L[/math]이란 임의의 [math] \varepsilon \gt 0 [/math]에 대하여 적당한 [math] \delta \gt 0 [/math]가 존재하여 [math] 0 \lt \sqrt{\left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta [/math]이면 [math]| f \left( x, y\right) - L | \lt \varepsilon [/math]이 성립한다는 의미이다. 이때 [math] L [/math]을 [math] \left( x, y\right) = \left( a, b \right) [/math]에서의 극한값이라 부른다.

4.2 거리 공간에서의 정의

두 거리 공간 [math]\left(X, d_X\right), \left(Y, d_Y\right)[/math]이 있을 때, 함수 [math]f:X\to Y[/math]의 극한은 다음과 같이 정의한다.([math]a\in X, \,L\in Y[/math])

[math] \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] 임의의 [math] \varepsilon \gt 0 [/math]에 대해 [math] \delta \gt 0 [/math]가 존재하여 [math]d_X\left(x, a\right)\lt\delta[/math]인 모든 [math]x\in X[/math]에 대해 [math]d_Y\left(f\left(x\right), L\right)\lt\varepsilon[/math]

4.3 위상 공간에서의 정의

두 위상 공간 [math]\left(X, \mathcal{T}_X\right), \left(Y, \mathcal{T}_Y\right)[/math] 사이에서 정의된 함수 [math]f:X\to Y[/math]의 극한은 다음과 같이 정의한다.([math]a\in X, \,L\in Y[/math])

[math]a[/math]가 [math]X[/math]의 극한점들의 집합[math]\Omega[/math]의 원소이고 [math]Y[/math]는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)일 때 [math] \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L[/math]이라고 함은 [math]L[/math]의 임의의 근방(neighbourhood) [math]V[/math]에 대하여 [math]a[/math]의 빠진 근방(punctured neighbourhood) [math]U[/math]가 존재하여 [math]f\left(U\cap \Omega\right) \subseteq V[/math]가 성립하는 것이다.

원래 '한없이 접근한다'라는 말보다 '한없이 접근해 있다'가 더 정확한 표현(수가 움직인다는 표현은 있을 수 없기에)이지만, 처음 접할 때 '한없이 접근한다'라는 동적인 의미가 더욱 극한에 가까운 느낌을 주기 때문에 자주 사용한다. 이는 우리가 극한에 대해 배울 때 세세한 정의보다 직감으로써 극한에 대한 내용을 이해하는 것을 우선시 해야 체감 난이도를 낮출 수 있기 때문이다.

아르키메데스 성질이란 아무리 작은 양수라도 유한 번 더해서 임의의 실수보다 크게 만들 수 있다는 것이다. 쉽게 말하면 "임의의 실수 [math]a[/math]에 대해, [math]n\gta[/math]인 자연수 [math]n[/math]이 존재한다" 정도로 이해하면 된다.

변화율을 의미한다. 거의 똑같이 생긴 라플라스 연산자와 헷갈리지 말 것.

아일랜드의 신학자인데 광학과 경험주의 철학, 성공회 신학의 권위자였다.

무한대도 셀 수 있는 무한이 있고 셀수 없는 무한이 각각 존재한다, 그중 양수는 셀 수 없는 무한에 해당한다

이 극한값을 알아내는 것은 그래프를 이용하여 직관적으로 찾든, 연속을 이용하든 가능하다. 엡실론 델타 논법은 왜 하필 [math]5[/math]이냐를 증명하는 과정이다.

쉽게 말하면, 양의 무한대나 음의 무한대로 가는 경우.

엄밀하게 말하자면, 임의의 [math]\epsilon\gt0[/math]에 대하여 [math]x\gtN[/math] 이면 [math]\left|f\left(x\right)-L\right|\lt\epsilon[/math]인 [math]N[/math]이 존재한다. 위 엡실론-델타 논법 또는 수열의 극한과 유사하다.

물론 초등함수는 아니고, 무한급수를 사용해 표시한다.