뉴턴의 운동법칙

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라틴어: Leges motus Newtoni.

1 개요

아이작 뉴턴이 프린키피아(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)에 기록한 운동 법칙으로서 고전역학을 접한다면 반드시 배우는 내용이다. 물론 중고등학교에서도 배우는 내용이기도 하다. 프린키피아가 라틴어 책이라서인지, 외국인 교수 중에 굳이 이 3가지 법칙만은 라틴어로 불러 주는 경우가 있다.

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2.1 제1법칙(Lex prima) : 관성의 법칙 (Newton's First Law of Motion - Inertia)

[math]\displaystyle \sum_{}^{} \mathbf{F} = 0 \Leftrightarrow \frac{\text{d} \mathbf{v}}{\text{d}t} = 0[/math]

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.

외부에서 가해지는 힘이 없을 때, 물체는 운동상태를 유지한다.

이 게임에서 계속 써야하는 법칙
힘은 물체의 운동을 변화시키는 근원이기 때문에, 알짜힘(합력)이 없다면 물체의 운동 역시 변화하지 않는다. 더 간단하고 허술한 설명은 '내버려두면 그냥 하던 대로 한다.' 이다. 이 개념을 더 정확하게 이해하기 위해서 다음과 같은 질문을 생각해 볼 수 있다.

급커브를 도는 자동차 내부의 탑승자는 힘을 받는가? 급커브를 돌게 되면 탑승자는 몸이 한 쪽으로 쏠리게 된다. 만약 탑승자가 외부를 관찰 할 수 없다면 탑승자는 힘을 받았다고 판단할 것이다. 하지만 외부에서 관찰하는 사람은 탑승자는 본래의 직선운동을 지속하려 하지만, 차가 급커브를 돌면서 차체가 탑승자에게 힘을 가하여 탑승자의 운동방향을 바꾸는 것을 보게 된다. 탑승자가 받는 힘과 차체가 탑승자에게 가하는 힘은 크기는 같지만 서로 방향은 반대다. 이 경우 탑승자가 경험하는 힘과 차체가 탑승자에게 가하는 힘 중 어느 것을 힘이라 해석해야 할까?

이 혼란은 탑승자가 정지한 계가 등속계가 아니기 때문에 발생한다. 이런 가속하는 계를 비관성계라 부르며, 비관성계의 물체는 겉보기힘(fictitious force)을 받게 된다. 코너를 도는 자동차 안의 탑승자가 경험하는 힘은 바로 이 겉보기힘이다. 겉보기힘의 대표적인 예는 원심력과 코리올리 효과가 있으며, 겉보기힘에 대한 개념이 확실하지 않으면 구심력과 원심력을 혼동하게 되니 주의하자.

날달걀인지 삶은 달걀인지 구분할 때 돌렸다가 멈추어 보는 것도 여기 포함된다. 잠깐 멈춰도 날달걀이면 안에서 노른자가 계속 돈다.

2.2 제2법칙(Lex secunda) : 가속도의 법칙

흔히 [math]F=ma[/math] 라고 알고 있는 바로 그것.
[math]\displaystyle \mathbf{F} = \frac{\text{d} \mathbf{p}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}(m \mathbf{v})}{\text{d}t} [/math]

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

외부에서 가해지는 힘은 물체의 운동상태를 변화시킨다.

[math]\mathbf{F}=m \mathbf{a}[/math]의 공식 형태로 잘 알려져 있는데, 옆의 공식에서 [math]\mathbf{F}[/math]는 알짜힘(물체에 작용하는 모든 외력의 총합), [math]m[/math]은 질량, [math]\mathbf{a}[/math] 는 가속도를 의미한다. 이 모습의 표기를 대중화한 것은 아이작 뉴턴 본인이 아니라 위상수학자로 잘 알려진 레온하르트 오일러이다.

가속도는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 법칙이다. 보다 일반화된 표현으로 [math]\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t} [/math] ([math]\mathbf{p}[/math] 는 운동량(momentum), [math]t[/math] 는 시간)라고 서술할 수 있는데, 고전역학에서 [math] \mathbf{p} = m \mathbf{v} [/math] 이므로 [math]\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t} = {\text{d}(m \mathbf{v}) \over \text{d}t} = m {\text{d}\mathbf{v} \over \text{d}t} = m \mathbf{a} [/math] 로 동일한 결과가 된다.

[math]\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t} [/math] 이 더 일반화된 표현이라고 부르는 이유는, 고전역학에서는 질량을 불변량으로 가정하므로 [math] \text{d}(m\mathbf{v}) = m~\text{d}\mathbf{v} [/math] 라고 할 수 있지만 상대성이론에서는 질량은 속도에 따라 변하는 양이기 때문이다. 상대성 이론의 세계에서도 운동량 [math]\mathbf{p}[/math] 를 상대론적 운동량으로 바꿔주면 [math]\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t} [/math] 는 그대로 성립한다. 굳이 상대성 이론까지 가지 않아도 질량이 변하는 상황은 존재하는데, 가장 대표적인 예가 질량(연료)을 바깥으로 분사하여 날아가는 로켓.

한편, 이것을 유체역학에 맞게 만든 것이 나비에-스톡스 방정식이다.

이 제 2 법칙은 실생활 도구에서도 많이 볼 수 있는데 그 대표적인 예시가 바로 에스컬레이터이다. 에스컬레이터는 위에 올라가 있는 사람들의 무게를 자동으로 측정해 계속 다른 양의 전력을 소모한다. 예를 들어 100kg인 사람 10명이 에스컬레이터에 올라가는 경우와 50kg인 사람 1명만 올라가있는 경우에는 각각 소모되는 전력 양이 다르다. 이는 속력을 일정하게 유지시키기 위함이다. 물론 에스컬레이터의 모터 자체가 가진 힘이 워낙 강해서 속력에 큰 영향은 없지만 최근에 나오는 거의 모든 에스컬레이터는 무게를 측정한다.

이와 비슷한 것으로는 물체를 옮기는 컨베이어벨트와 런닝 머신들이 있는데 이 둘은 약간 다르다. 컨베이어벨트와 같은 경우에는 주로 같은 무게의 물체만 옮기므로 무게를 측정하지 않는 경우가 많다.

하지만 런닝 머신은 대부분 무게를 측정한다. 런닝 머신의 모터도 상당히 강력해 영향을 안 미칠 것 같지만 사실 속력에 꽤 영향을 미치기 때문이다. 참고로 런닝 머신 위의 사람은 지속적으로 움직여 무게를 측정하기가 약간 어려워 계속 무게가 변동할 시 평균적인 무게만 측정한다고 한다. 측정하는 방식도 다양한데 보통 벨트의 장력을 이용해 측정한다. 즉 벨트가 얼마나 안으로 들어가는 지를 보는 것.

2.3 제3법칙(Lex tertia) : 작용 · 반작용의 법칙

[math] \mathbf{F}_{\text{AB}} = -\mathbf{F}_{\text{BA}} [/math]

Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.

물체 A가 다른 물체 B에 힘을 가하면, 물체 B는 물체 A에 크기는 같고 방향은 반대인 힘을 동시에 가한다.

이 게임에서 밥먹듯이 이용하는 법칙
우리 주변의 거의 모든 것이 이동하는 원리이다. 안그런게 있던가...? 없으면 전세계가 망한다. 다른 두 법칙도 마찬가지...

오토바이와 4륜차가 충돌할 경우를 생각해 보자. 분명히 받는 힘의 크기는 오토바이 운전수랑 4륜차랑 같지만, 오토바이 쪽이 4륜차에 비해 월등히 질량이 낮기 때문에 크기가 같은 힘으로도 그렇게 가속도가 크게 걸리는 것.

한 물체 A가 다른 물체 B에게 작용하는 힘이 있을 경우, 그 다른 물체 B도 물체 A에게 같은 크기의 힘을 가한다는 법칙. 내가 땅바닥에 헤딩을 하는데 마치 땅바닥이 나를 때리는 것처럼 아픈 이유이기도 하다. A가 B에 작용하는 힘의 '결과'로 B가 A에 작용하는 반작용이 나오는 것이 아니라, 그 두 힘은 원래 동시에 존재하는 것이다. 즉, 새가 날개로 공기를 밀어내는 힘과 공기가 새의 날개를 밀어내는 힘은 동시에 작용한다는 것.

또, 작용 반작용의 법칙이 적용되는 예로 줄다리기를 생각해보면 양쪽에 가해지는 힘은 항상 같다. 따라서 줄을 아예 당기지 않고 잡고만 있어도 상대편은 자기가 당기는 힘과 똑같은 힘을 받는다. 실제로 승부를 결정짓는 것은 팀의 질량, 신발의 마찰력, 전략이 좌우한다.

단, 겉보기힘의 반작용은 존재하지 않는데 이것이 우리가 겉보기힘을 가상의 힘이라 하는 이유이다. 앞서 말했듯, 실제로 존재하는 힘이면 그 힘의 반작용과 반드시 세트로 작용한다.

힘의 평형과 혼동하지 않도록 주의해야 한다. 힘의 평형은 힘의 작용점이 한 물체안에 있어서 전체적으로 그 물체의 힘의 총 합력(알짜힘)이 0이 되어 움직이지 않는 경우지만, 작용 반작용은 힘의 작용점이 서로 다른 물체에 있으므로 두 물체가 서로 별개의 운동을 한다.

흔히 물리공격을 무효로 한다고 할때, 이 법칙을 밥먹듯이 무시하게된다. 저 자세하게 설명이 가능한 위키러가 수정바람