곱셈

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1 개요

가장 잘 알려진 이항연산이자 사칙연산의 하나. 덧셈/뺄셈을 배우고 나서 배우게 되는데, 항상 +나 -로 표기되는 덧셈/뺄셈과는 달리 다양한 기호를 사용하는 것이 특징이다. 투명 기호(...)부터 시작해서 초등학교 수준에서 배우는 ×[1], 중등 교육 과정에서 사용하는 ⋅[2], 두 벡터로 텐서를 만들 때 사용하는 ⊗, 컴퓨터에서 X와의 혼동을 피하기위한 * 등등...

투명 기호는 숫자와 문자, 문자끼리의 곱에서만 쓰인다. 델( [math] \nabla [/math] )에 투명 기호가 쓰인 것은 그래디언트라는 미분 연산으로 따로 정의한다.

2 정의

대학에서 대수학을 추상적으로 배우기 시작하면서부터는 보통

1. 군 구조에서
2. 가환일 것.

이 두가지 조건을 만족하는 연산을 곱셈이라고 하는 경우가 많다. 실제로는 우리가 알고 있는 곱셈에서부터 파생되는 경우를 배우는 게 대부분이다.

하지만 이게 성립하지 않는 군도 있다. 벡터나 행렬이 대표적인 예. 리버스도 있다 특히 벡터는 곱셈을 다양하게 정의하는데다 일반적인 "곱셈"과는 다른 양상을 보이는데, 이는 전신인 사원수군이 그렇게 생겨먹었기 때문.

3 예제

곱셈구조는 상당히 다양하다. 그 중 대표적인 것은 다음과 같다.

이 중 첫번째는 (홀수)×(홀수) = (홀수), (홀수)×(짝수) = (짝수), (짝수)×(홀수) = (짝수), (짝수)×(짝수) = (짝수) 라는 대표적인 예제가 존재한다.

또한 (양수)×(양수) = (양수), (양수)×(음수) = (음수), (음수)×(양수) = (음수), (음수)×(음수) = (양수) 라는 성질도 존재한다.

이외에도 다음 성질이 있다.

  • 일반적으로[3] 교환법칙이 성립한다. 즉 [math] ab = ba [/math] .
  • 일반적으로[4] 결합법칙이 성립한다. 즉 [math] (ab)c = a(bc) [/math] .
  • 분배법칙이 성립한다. 즉 [math] a (b + c) = ab + ac [/math] .
  • 일반적으로[5] 항등원은 1이다. 즉 1을 아무리 곱하거나 나눠도 아무 변화가 없다는 것.

한편, 가환군인 경우 이를 이용한 특수한 계산 법칙이 있다. 여기에 대해서는 곱셈 공식, 인수분해 참조.

4 곱셈의 역원 - 나눗셈

곱하는 것이 있다면 나누는 것도 있기 마련인데 이를 나눗셈이라고 한다. 초등교육 과정에서는 ÷이라는 기호를 쓰나, 그 정체는 다름아닌 분수. 그래서인지 중등 교육과정부터는 아예 분수를 곱하는 것으로 나눗셈을 대체한다…. 많은 컴퓨터 프로그래밍 언어에서는 나눗셈을 나타낼 때 ÷ 대신 /를 사용한다.[6]

나눗셈을 할 때 주의할 것이, 0으로 나눠서는 안 된다는 것이다. 0의 특성상 0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수가 없기 때문이다.[7]
실제로 이짓을 하면 블랙홀이 생긴다.

5 지수

거듭제곱이라고도 하며, 같은 수를 어느 정도까지 곱했는가라는 것을 나타낸다. 자세한 것은 지수 문서 참조.

6 테트레이션

거듭제곱의 거듭제곱. 자세한 것은 테트레이션 문서 참조.

7 덧셈/뺄셈으로 바꾸기

로그를 쓰면 곱셈을 덧셈으로 취급할 수 있다. 자세한 것은 로그 문서 참조. 2×2=2+2=4, 2×3=2+2+2=6... 참 쉽죠?

8 기타

개요에서 서술했듯이 곱셈 기호로 여러가지를 사용하고 하나의 식에서 그것이 혼용이 되어서 사용하기도 하기 때문에 간혹 논란이 발생하기도 한다. 48÷2(9+3) 참고. 비슷하게 나눗셈이 포함된 식에 ÷과 /를 혼용할 경우도 키배가 벌어진다. #
  1. ↑ 벡터에서는 외적, 미분방정식에서는 회전을 나타낸다.
  2. ↑ 벡터에서는 내적, 미분방정식에서는 발산을 나타낸다.
  3. ↑ 사원수군, 벡터, 행렬 등은 제외
  4. ↑ 팔원수군 등은 제외
  5. ↑ 행렬은 항등원이 하나 더 존재한다. 자세한 것은 행렬 참조.
  6. ↑ ÷기호 자체가 기본 키보드로는 칠 수가 없는 문자이기도 하다.
  7. ↑ 0의 역원 1/0=무한대라는 오해가 있는데, 무한대는 실수 집합에 포함되지 않으므로 틀린 말이다. 무한대를 포함하는 확장된 실수에서는 [math]\infty^{-1} = 0[/math]이라고 정의하지만 [math]0 \cdot \infty[/math] 또는 [math]0^{-1}[/math]의 값은 여전히 정의되지 않는다. 약간 어거지를 부려서 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{x} = 0[/math]의 역원이 [math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{\frac{1}{x}} = \infty[/math]라고 하면 말은 되겠지만 이것은 [math] \forall \epsilon \gt 0[/math]인 [math]0 + \epsilon[/math]의 역원을 묻는 문제이지 0의 역원을 묻는 문제가 아니다.