약수(수학)

• 수학 관련 정보

Divisor / 約數

1 개요

어떤 수를 나누었을 때 나머지가 0이 되는 수. 즉 나누어 떨어지는 수.

모든 자연수는 1과 자기 자신을 약수로 갖는다. 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신밖에 약수가 존재하지 않는 자연수를 소수(素數)라고 한다.

'a는 b의 약수이다'를 a|b라고 표현하기도 한다. 예를 들어 4|20은 참이지만 5|21은 거짓이다.

2 성질

• 어떤 자연수 n에 대하여 n=a^p×b^q×c^r×...일 때, n의 약수를 소인수분해하면 n=a^p'×b^q'×c^r'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• a가 b의 배수이면 b는 a의 약수이다.
• y가 x의 약수이고 z가 y의 약수이면 z는 x의 약수이다. 예를 들어 12는 36의 약수이고 3은 12의 약수이므로 3은 36의 약수이다. x=a^p×b^q×c^r×...이면 x의 약수 y는 y=a^p'×b^q'×c^r'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로, y의 약수 z는 z=a^p"×b^q"×c^r"×... (0≤p"≤p', 0≤q"≤q', 0≤r"≤r'...)로 나타낼 수 있고, 이때 0≤p"≤p, 0≤q"≤q, 0≤r"≤r...이기 때문이다.
• a가 y와 z 모두의 약수이면 a는 y+z의 약수이다. 예를 들어 4는 12와 20 모두의 약수이므로 4는 12+20=32의 약수이다. y=m×a, z=n×a라 하면 y+z=(m+n)×a이기 때문이다(m, n은 자연수). 같은 방법으로 a가 y와 z 모두의 약수이면 a=(p×y)+(q×z)의 약수이다(p, q는 자연수).
• 큰 수일수록 약수의 개수가 많아지는 추세이다. 예를 들어 1부터 20까지의 자연수의 약수의 개수의 평균은 3.3개이지만, 81부터 100까지의 자연수의 약수의 개수의 평균은 5.7개이다. 물론 작은 수 중에서도 6이나 12처럼 약수가 4개 이상인 것이 있는 반면, 이보다 훨씬 큰 수 중에서도 소수의 약수는 2개이다.
• [math]A[/math]|[math]B[/math]일때, [math]A[/math]는 [math]\sqrt B[/math] 보다 작거나 같다. ([math]A[/math]|[math]B[/math], [math]A[/math]≤[math]\sqrt B[/math]) 자세한 건 여기 참고.

2.1 다항식에서의 약수

의미를 확장하여 어떤 다항식이 2개 이상의 다항식의 곱으로 인수분해될 경우, 그 곱을 이루는 각 다항식 또는 그 다항식의 곱을 약수라고 하기도 한다. 예를 들어 [math]x^2 - 1[/math] 은 [math](x + 1)(x - 1)[/math]로 인수분해되므로, x+1 과 x-1 을 [math]x^2 - 1[/math] 의 약수로 취급하는 것이다. 마찬가지로 1과 자기자신(이 경우는 [math]x^2 - 1[/math]) 역시 약수가 된다.

2.2 약수의 개수

자연수를 소인수분해하였을 때, 각 소인수의 제곱수에 1을 더한 수들을 곱한 값이다. 예를 들어, 72는 2³×3²이므로 약수의 개수는 (3+1)×(2+1)=12이다. 이는 자연수를 a^p×b^q×c^r×...의 꼴로 가정했을 때 1에 a를 0, 1, 2, ..., p번(총 p+1가지), b를 0, 1, 2, ..., q번(총 q+1가지), c를 0, 1, 2, ..., r번(총 r+1가지)... 곱하는 경우가 존재하며, 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하면 (p+1)×(q+1)×(r+1)...이 되기 때문이다.

제곱수의 약수의 개수는 홀수이고, 제곱수가 아닌 경우는 짝수이다. 제곱수의 경우 소인수를 a, b, c, ...라고 할 때 (a^p×b^q×c^r×...)² = a^2p×b^2q×c^2r×...의 꼴로 표현되므로 소인수의 제곱 횟수가 모두 짝수가 되어, 위 방법으로 약수의 개수를 계산하면 (짝수+1)×(짝수+1)×...×(짝수+1) = (홀수)×(홀수)×...×(홀수) = (홀수)가 되기 때문이다. 반면 제곱수가 아닌 경우는 이러한 꼴로 나타낼 수 없으므로 소인수의 제곱 횟수 중 홀수인 것이 존재한다. 따라서 약수의 개수를 계산할 때 곱하는 수들 중 (홀수+1) = (짝수)인 것이 존재하여 곱셈 결과, 즉 약수의 개수도 짝수가 된다.

이와 관련된 유명한 수학 문제가 하나 있다.

옛날 어느 왕국의 성벽에는 1번부터 100번까지 100개의 성문이 있는데, 매일 100명의 문지기가 다음과 같은 방법으로 문을 여닫는다고 한다.

1번 문지기는 모든 문을 열어 놓는다.
2번 문지기는 2의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
이와 같은 방법으로 n번 문지기는 n의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
그렇다면, 100명이 모두 문을 여닫았을 때, 열려 있는 문은 몇 번 문인가?

1번 문지기가 모든 문을 열어 놓으므로 처음에는 모든 문이 닫혀 있다고 가정하자. n번 문은 n의 약수에 해당하는 문지기에 의해 열리고 닫힐 것이다. 문이 열려 있으면 그 문을 여닫은 문지기가 홀수 명이라는 뜻이고, 닫혀 있으면 짝수 명이라는 뜻이므로, 열려 있는 문에 해당하는 번호의 약수의 개수는 홀수일 것이다. 따라서 최종적으로 제곱수에 해당하는 1, 4, 9, ..., 100번의 10개의 문이 열려 있을 것이다.

참고로 2014학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 B형에도 비슷한 문제가 등장했는데, n 이하의 자연수 중 양의 약수가 홀수 개인 자연수를 <n>개로 하여 <n>=16인 자연수의 최댓값을 구하는 문제이다. 정답은 288로, 교육청에서 제공한 공식 풀이에서 이 성질을 활용하였다.

약수의 개수의 성질로는 이 외에도 다음과 같은 것들이 있다.

• 어떤 자연수의 약수의 약수의 개수는 그 자연수의 약수의 개수보다 작거나 같다. 같을 때는 약수가 그 자연수인 경우뿐이다.
• 소인수 a의 n제곱 꼴로 나타내어지는 수의 약수의 개수는 (제곱 횟수+1)이고, 약수는 1, a, a², ..., aⁿ이다. 예를 들어 16=2⁴는 소인수인 2의 4제곱이므로 약수가 5개(1, 2, 4, 8, 16)이다.

다항식의 약수 역시 같은 방법으로 생각할 수 있는데, 이때는 소인수 대신 인수분해한 결과에서의 각 다항식을 이용한다는 점만 다르다. 예를 들어 [math]x^4-2x^2+1[/math]을 인수분해하면 [math](x-1)^2(x+1)^2[/math]가 되므로 [math](x-1)[/math]과 [math](x+1)[/math]을 각각 0, 1, 2번 곱하는 경우가 있기 때문에 약수는 (2+1)×(2+1)=9개가 된다. 더 이상 인수분해되지 않는 다항식들을 소수처럼 취급하는 셈이다.

2.3 약수의 합

약수의 합 역시 소인수를 이용하여 구할 수 있는데, 어떤 자연수 n을 소인수분해한 결과가 a^p×b^q×c^r×...라 하면 모든 약수의 합은 (1+a+a²+...+a^p)×(1+b+b²+...+b^q)×(1+c+c²+...+c^r)×... 라는 식으로 구할 수 있다. 여기서 등비수열의 합 공식을 사용하면 1+a+a²+...+a^p=[math]\frac {a^{p+1}-1}{a-1}[/math]이므로 약수의 합은 [math]\frac {a^{p+1}-1}{a-1}[/math]×[math]\frac {b^{q+1}-1}{b-1}[/math]×[math]\frac {c^{r+1}-1}{c-1}[/math]×...이라고 할 수 있다. 예를 들어 600=2³×3¹×5²이므로 모든 약수의 합은 (1+2+2²+2³)×(1+3)×(1+5+5²)=1860이다.

이는 상술한 것처럼 n=a^p×b^q×c^r×...의 약수를 소인수분해하면 n=a^p'×b^q'×c^r'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로 나타낼 수 있기 때문인데, 여기서 p, q, r, ...을 정할 수 있는 경우의 수를 생각하면 n의 약수의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서는 n=a^p×b^q라 하자. 그렇다면 약수의 일반적인 꼴은 a^p'×b^q'이 된다.

(a⁰×b⁰)+(a¹×b⁰)+(a²×b⁰)+...+(a^p×b⁰)

+ (a⁰×b¹)+(a¹×b¹)+(a²×b¹)+...+(a^p×b¹)
+ (a⁰×b²)+(a¹×b²)+(a²×b²)+...+(a^p×b²)
+ ... + (a⁰×b^q)+(a¹×b^q)+(a²×b⁰)+...+(a^p×b^q)

위 식을 정리하면 a⁰×(b⁰+b¹+b²+...+b^q)+a¹×(b⁰+b¹+b²+...+b^q)+a²×(b⁰+b¹+b²+...+b^q)+...+a^p×(b⁰+b¹+b²+...+b^q)=(a⁰+a¹+a²+...+b^p)×(b⁰+b¹+b²+...+b^q)임을 알 수 있다.

특히 2의 제곱수 꼴(2ⁿ)의 경우 약수의 합은 1+2+2²+...+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1이다. 예를 들어 32=2⁵의 약수의 합은 1+2+...+32=63=2⁶-1이다.

2.4 진약수

어떤 자연수를 n이라고 할 때 n의 약수 중 n을 제외한 모든 약수를 진약수라고 부른다.
n의 모든 진약수의 합을 s라고 할 때, n이 s보다 크면 부족수이고, n이 s보다 작으면 과잉수이고, n이 s와 같으면 완전수이다. 또 a의 진약수의 합이 b이고 b의 진약수의 합이 a이면 a와 b는 서로 친화수라고 한다. 자세한 내용은 각 문서 참조.

2.5 최대공약수

두 수 a,b 가 있을때, 어떤 수 n 이 a 의 약수이면서 동시에 b 의 약수일때 이를 '공약수'라고 부른다. 그런 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수라고 부른다. 만약 두 수 a,b 의 공약수가 1 뿐이라면, 두 수의 최대공약수 역시 당연히 1이 된다. 이때 이 두 수를 '서로소인 수'라고 부른다.

이 최대공약수는 대수학분야의 정수론이나 현대대수학에서도 많이 활용된다. 대표적으로 기약잉여계가 그 중 하나이다.

3 교육 과정에서의 약수

• 초등학교 5학년 수학 교과의 '약수와 배수' 단원에서 약수에 관하여 처음 배운다.
• 중학교 수학에서는 약수에 관하여 이보다 심화하여 배운다.
• 고등학교 1학년 수학 과정에서 다항식의 약수와 배수에 관하여 배운다.
• 고등학교 수학의 '순열과 조합' 부분에서 상술한 약수의 개수 구하는 방법을 이용한 약수의 개수를 구하는 문제가 출제될 수 있다. 약수의 합을 구하는 문제도 간혹 출제된다.
• 대학교 학부 과정의 이산수학에서 약수에 관하여 배우는 경우가 많다.

4 유니타리 약수

Unitary divisor

자연수 n의 약수 중 d라는 수가 있을 때, d와 n÷d가 서로소이면 d를 n의 유니타리 약수라 한다. 예를 들어 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36인데, 여기서 36÷4=9와 4는 서로소이므로 4는 36의 유니타리 약수이다. 이는 9도 마찬가지.

유니타리 약수의 성질로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 1과 자기 자신 모든 자연수의 유니타리 약수이다. 자연수 n에 대하여 1과 n은 반드시 서로소이기 때문. 따라서 소수의 전체 약수와 유니타리 약수는 모두 1과 자기 자신의 2개뿐이다.
• d가 n의 유니타리 약수일 때 n÷d 역시 n의 유니타리 약수이다. d와 n÷d가 서로소이면 n÷(n÷d)=d가 성립하여 n÷(n÷d)와 n÷d 역시 서로소이기 때문이다. 예를 들어 4가 36의 유니타리 약수이므로 36÷4=9 역시 36의 유니타리 약수이다.
• 자연수 n을 소인수분해한 결과가 p¹×q¹×r¹...과 같이 지수가 모두 1일 때 n의 약수는 모두 n의 유니타리 약수이다. 예를 들어 30=2¹×3¹×5¹이므로 30의 약수 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30은 모두 유니타리 약수이다. 이는 이때 n의 약수가 n의 소인수 중 몇 개를 선택하여 그것들을 모두 곱한 수이므로, 그 약수를 d라 하면 n÷d는 나머지 소인수들을 선택하여 모두 곱한 값이 되는데, 여기서 n과 n÷d에서 선택한 소인수가 서로 중복되지 않아서 곱한 결과가 서로소가 되기 때문이다.
• 자연수 n을 소인수분해한 결과가 a^p×b^q×c^r...와 같을 때, a^p', b^q', c^r', ...(0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r, ...)는 모두 n의 유니타리 약수이다. 예를 들어 1800=2³×3²×5²의 약수 중 2³=8, 3²=9, 5²=25는 모두 유니타리 약수이다.
• 어떤 자연수의 약수를 작은 수부터 나열할 때, 유니타리 약수의 위치는 가운데를 기준으로 좌우 대칭이다. 예를 들어 100의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100인데, 100의 유니타리 약수는 1, 4, 25, 100으로 이는 100의 약수를 작은 수부터 나열할 때 각각 1, 3, 7, 9번째에 해당하며, 가운데인 5번째를 기준으로 좌우 대칭이다.
• 소인수의 제곱수 꼴로 나타내어지는 수의 유니타리 약수는 1과 자기 자신뿐이다. 그 수를 n, 나머지 약수 중 하나를 d라 하면 d와 n÷d는 모두 해당 소인수를 약수로 갖기 때문이다.

4.1 유니타리 약수의 개수

자연수 n을 소인수분해한 결과가 a^p×b^q×c^r...일 때 유니타리 약수는 1에 각 소인수를 0번 또는 p, q, r, ...번 곱한 수이며, 그 사이의 횟수만큼 곱한 소인수가 있는 수는 유니타리 약수가 아니다. 나머지 소인수를 곱한 횟수에 상관없이 a를 k(0<k<p)번 곱한 수를 X라 하면, n÷X는 a를 (p-k)(0<p-k<p)번 곱한 수이므로 a를 소인수로 가지게 되어 X와 n÷X가 서로소가 아니기 때문이다. 예를 들어 n=a^p×b^q×c^r(a, b, c, ...는 소인수)라 하면 n의 유니타리 약수는 1, a^p, b^q, c^r, a^p×b^q, a^p×c^r, b^q×c^r, a^p×b^q×c^r의 8개이다.

따라서 유니타리 약수의 개수는 n의 소인수가 x개라고 했을 때 각 소인수 및 이들의 곱해진 횟수(지수)와 상관없이 2^x개이다. 예를 들어 1260=2²×3²×5×7이므로 1260의 유니타리 약수의 개수는 2⁴=16개이며, 330=2×3×5×11로 소인수와 그 곱해진 횟수는 1260과 다르지만 1260처럼 소인수가 4개이므로 역시 16개이다. 따라서 유니타리 약수의 개수가 홀수인 경우는 2⁰=1개여야 하므로 오직 1뿐이다.

이 때문에 100 이하의 자연수의 유니타리 약수의 개수는 다음과 같으며, 유니타리 약수가 2ⁿ개 이상인 최소의 자연수는 소수를 작은 것부터 p₁, p₂, ...라고 할 때 p₁×p₂×...×p_n이다. 예를 들어 유니타리 약수가 2⁵(=32)개 이상인 최소의 자연수는 2×3×5×7×11=2310이다.

개수	자연수
1 (=20)	1 (1개)
2 (=21)	소수(2, 3, 5, ..., 97), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81 (35개)
4 (=22)	6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 62, 63, 65, 68, 69, 72, 74, 75, 76, 77, 80, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100 (56개)
8 (=23)	30, 42, 60, 66, 70, 78, 84, 90 (8개)
16 (=24) 이상	없음

유니타리 약수의 개수가 1을 제외하고 짝수라는 것은 다음의 방법으로도 알 수 있다.

• 유니타리 약수는 1과 자기 자신을 포함하여 n을 유니타리 약수인 d(≠n, ≠1)로 나눌 때의 d와 n÷d의 쌍이므로 제곱수가 아닌 경우에는 유니타리 약수의 개수가 언제나 짝수임을 알 수 있다.
• 제곱수(n²라 하자.)의 경우, 제곱근인 n은 n=1인 경우를 제외하고 유니타리 약수가 될 수 없다. n과 n²÷n=n은 서로소가 되지 않기 때문이다. 따라서 상술한 d와 n÷d의 쌍이 남으므로 짝수 개이다.
• 예를 들어 144의 유니타리 약수의 쌍은 (1, 144), (9, 16)으로 이 쌍에 속하는 유니타리 약수는 4개이고, 제곱근인 12는 유니타리 약수가 아니므로 유니타리 약수는 모두 4개이다.

4.2 유니타리 약수의 합

자연수 n을 소인수분해한 결과가 n=a^p×b^q×c^r×...일 때 유니타리 약수는 a^p, b^q, c^r, ... 중에서 전체 또는 일부를 선택하여 곱한 수와 1이기 때문에 그 합은 1+a^p+b^q+c^r+...+(a^p×b^q×c^r×...)이고, 이를 인수분해하면 (1+a^p)×(1+b^q)×(1+c^r)×...이다. 예를 들어 60을 소인수분해하면 2²×3¹×5¹이므로 60의 유니타리 약수의 합은 (1+2²)×(1+3¹)×(1+5¹)=120이다.

5 기타

• 약수를 구할 범위를 음수까지 확장하여 음의 약수까지 고려한다면, 약수의 개수는 양의 약수에 -1을 곱한 것들까지 합하여 2배로 늘어나고, 약수의 합은 0이 된다.
• 약수의 범위를 양의 유리수까지 확장하면 약수의 개수는 무한히 많아진다. 어떤 자연수 n의 1/x배(x는 자연수)를 모두 유리수로 나타낼 수 있고, 이것들이 모두 n의 약수이기 때문이다.
• 약수의 범위는 자연수로 한정하고, 양의 유리수의 약수라는 개념을 인정하면 자연수가 아닌 양의 유리수의 약수는 없다.
• '0의 약수'라는 개념을 인정하면 0은 0을 제외한 모든 자연수로 나누어 떨어지므로 모든 자연수가 0의 약수가 된다. 따라서 0의 약수는 무한히 많다.
• 약수가 많은 수는 n등분하기 편하기 때문에 실생활에서 많이 쓰인다. 대표적인 예가 인류의 역사와 함께 해온 60진법이다. 1시간을 60분으로, 1분을 60초로 나누는 것 등이 인간의 생활 속에 적용된 60진법에 해당한다. 그 외에도 1년을 12개월로 나누는 것, 하루를 24시간으로 나누는 것, 경제학에서의 72의 법칙이 이에 해당한다.
• 위키백과나 나무위키 등의 위키에서 특정 수에 관한 문서를 검색하면 그 수의 약수에 관하여 설명하는 내용이 있는 경우가 많다. 예를 들어 '약수는 ...로 총 ...개이며, 이들의 합은 ...이다'라고 설명하는 식.
• 울프럼알파에서 특정 수 N의 약수를 찾으려면 'divisor N' 또는 'divisors N'이라고 검색하면 된다. 약수의 목록과 약수의 개수, N을 인수분해한 결과가 나타난다. 예시
• C언어 등 프로그래밍 언어 활용 문제의 소재로 약수를 출력하는 것이 많이 등장한다.
• 어떤 자연수 n의 1과 자기 자신을 제외한 약수의 합을 f(n)이라 하자. 두 자연수 a, b에 대하여 f(a)=b, f(b)=a일 때 a, b를 서로 부부수라고 한다. 대표적인 부부수로 48과 75가 있는데, f(48)=2+3+4+6+8+12+16+24=75, f(75)=3+5+15+25=48이다.
• 약수의 개수가 n개 이상이 되는 최소의 자연수 N은 다음과 같다.

n	N
1	1
2	2
3	4
4	6
6	12
7, 8	24
9	36
10	48
11, 12	60
13, 14, 15, 16	120
17, 18	180
19, 20	240

• 언어별 명칭

언어별 명칭
일본어	約数(やくすう)
중국어	约数 (yuēshù)。
프랑스어	diviseur, sousmultiple
스페인어	divisor
베트남어	ước số.
라틴어	dīvísor(남성명사)
인도네시아어	pembagi
우크라이나어	Подільність

5.1 100 이하의 자연수의 약수

자연수	약수	약수의 개수	비고
1	1	1	약수가 1개인 유일한 자연수
2	1, 2	2
3	1, 3	2
4	1, 2, 4	3
5	1, 5	2
6	1, 2, 3, 6	4	약수가 4개 이상인 최소의 자연수이자 최초의 완전수
7	1, 7	2
8	1, 2, 4, 8	4
9	1, 3, 9	3
10	1, 2, 5, 10	4
11	1, 11	2
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	6	약수가 6개 이상인 최소의 자연수이자 최초의 과잉수
13	1, 13	2
14	1, 2, 7, 14	4
15	1, 3, 5, 15	4
16	1, 2, 4, 8, 16	5
17	1, 17	2
18	1, 2, 3, 6, 9, 18	6
19	1, 19	2
20	1, 2, 4, 5, 10, 20	6
21	1, 3, 7, 21	4
22	1, 2, 11, 22	4
23	1, 23	2
24	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24	8	약수가 8개 이상인 최소의 자연수
25	1, 5, 25	3
26	1, 2, 13, 26	4
27	1, 3, 9, 27	4
28	1, 2, 4, 7, 14, 28	6	누적 약수의 개수 100개 돌파(101)
29	1, 29	2
30	1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30	8
31	1, 31	2
32	1, 2, 4, 8, 16, 32	6
33	1, 3, 11, 33	4
34	1, 2, 17, 34	4
35	1, 5, 7, 35	4	최초로 3연속으로 약수의 개수가 같다.
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36	9	약수가 9개 이상인 최소의 자연수
37	1, 37	2
38	1, 2, 19, 38	4
39	1, 3, 13, 39	4
40	1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40	8
41	1, 41	2
42	1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42	8
43	1, 43	2
44	1, 2, 4, 11, 22, 44	6
45	1, 3, 5, 9, 15, 45	6
46	1, 2, 23, 46	4
47	1, 47	2
48	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48	10	약수가 10개 이상인 최소의 자연수
49	1, 7, 49	3	누적 약수의 개수 200개 돌파(201)
50	1, 2, 5, 10, 25, 50	6
51	1, 3, 17, 51	4
52	1, 2, 4, 13, 26, 52	6
53	1, 53	2
54	1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54	8
55	1, 5, 11, 55	4
56	1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56	8
57	1, 3, 19, 57	4
58	1, 2, 29, 58	4
59	1, 59	2
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60	12	약수가 12개 이상인 최소의 자연수
61	1, 61	2
62	1, 2, 31, 62	4
63	1, 3, 7, 9, 21, 63	6
64	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64	7
65	1, 5, 13, 65	4
66	1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66	8
67	1, 67	2
68	1, 2, 4, 17, 34, 68	6	누적 약수의 개수 300개 돌파(300)
69	1, 3, 23, 69	4
70	1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70	8
71	1, 71	2
72	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72	12
73	1, 73	2
74	1, 2, 37, 74	4
75	1, 3, 5, 15, 25, 75	6
76	1, 2, 4, 19, 38, 76	6
77	1, 7, 11, 77	4
78	1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78	8
79	1, 79	2
80	1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80	10
81	1, 3, 9, 27, 81	5
82	1, 2, 41, 82	4
83	1, 83	2
84	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84	12
85	1, 5, 17, 85	4
86	1, 2, 43, 86	4
87	1, 3, 29, 87	4	누적 약수의 개수 400개 돌파(403)
88	1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88	8
89	1, 89	2
90	1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90	12
91	1, 7, 13, 91	4
92	1, 2, 4, 23, 46, 92	6
93	1, 3, 31, 93	4
94	1, 2, 47, 94	4
95	1, 5, 19, 95	4
96	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96	12
97	1, 97	2
98	1, 2, 7, 14, 49, 98	6
99	1, 3, 9, 11, 33, 99	6
100	1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100	9
합계		482	평균 4.82개

비고에 별것이 다있다
약수의 개수별로 몇 개가 있는지 따지자면 다음과 같다. 상술한 것처럼 약수의 개수가 홀수인 경우는 제곱수뿐이므로 짝수인 경우보다 훨씬 적다.

약수의 개수	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12
자연수의 개수	1	25	4	32	2	16	1	10	2	2	5

6 관련 문서

• 배수(수학)
• 나머지
• 부족수
• 완전수
• 반완전수
• 과잉수
• 친화수
• 최대공약수
• 소수(수론)
• 서로소