지수(수학)

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1 개요

언어별 명칭
한자	指數
중국어	指数(Zhǐshù)
일본어	指数(しすう)
영어	Power
	Exponent
	Square(2제곱)
	Cube(3제곱)

지수는 어떤 수나 문자의 오른쪽 위에 덧붙여 쓰여 그 거듭제곱을 한 횟수를 나타내는 문자나 숫자를 말한다. 컴퓨터 상에서는 문서 편집기를 쓰지 않는 이상 윗첨자를 쓰기 힘든 경우가 많기 때문에 ^기호를 써서 '밑^지수'와 같은 식으로 쓰이기도 한다. 때문에 지수가 들어가는 수식을 컴퓨터 텍스트로 보는 경우 은근히 가독성이 떨어지는 경우가 종종 생긴다. 나무위키에서는 윗 첨자 기능을 제공하므로 위키 내에서는 첨자로 나타내도록 하자.

대한민국에서는 중학교 1학년부터 배운다. 어떤 수 [math]x[/math]를 [math]n[/math]번 곱했을 때, [math]x[/math]를 [math]n[/math]번 쓰고 곱셈기호를 [math]n-1[/math]번 써서 식으로 나타내기에는 불편하니까, 보기편하라고 [math]x^n[/math] 으로 쓰고, [math]x[/math]의 [math]n[/math]제곱(또는 [math]x[/math]의 [math]n[/math]승)하지만 [math]x[/math]의 [math]n[/math]승이라고 읽는 것은 가감승제처럼 일제강점기의 잔재라는 의견도 있으니 유의해서 써야 한다.이라고 읽는다. 사실, 지수보다는 로그가 먼저 나왔다고 하니, 우리는 수학을 거꾸로 배우고 있는 것(...)

이때 지수는 주로 정수(整數)를 범위로 해서 배운다. 사실, 지수에도 사칙연산이 있는데, 나눗셈은 고등학교 1학년에서 배운다. 그 이유는 후술.

[math] {a}^{b} \times {a}^{c} = a^{b+c} [/math] (지수의 덧셈) (단, a＞0)
[math] {a}^{b} \div {a}^{c} = a^{b-c} [/math] (지수의 뺄셈)
[math] \left({a}^{b}\right)^{c} = a^{bc} [/math] (지수의 곱셈)

2 지수의 확장

중학교 수준에서는 [math] a^{n} [/math] 이 [math]a[/math]를 [math]n[/math]번 곱한 것으로 정의하지만 지수가 [math]0[/math]이거나 음의 정수, 유리수 범위에서 이렇게 정의하기는 애매하다. [math]2^{0}=1[/math] 을 2를 0번 곱한 것으로 생각한다거나 그럼 0⁰ 은 뭐지 [math]2^{-1}[/math] 을 2를 -1번 곱한다고 정의할 수는 없지 않은가? 거기에 [math]2^{{1 \over 2}}[/math] 를 생각하면 더 난감해진다. 2를 [math]{1 \over 2}[/math]번 곱해? 2를 쓰다가 말라는 소린가?

그래서 이러한 지수들에는 새로운 정의가 필요하다. 자연수에서 성립되었던 [math] a^b \times a^c = a ^{\left(b+c\right)} [/math] 에 대해 c=0인 경우를 살펴보면 [math] a^b \times a^0 = a ^{\left(b+0\right)} = a^b [/math] 으로 생각할 수 있다. [math] a^b [/math] 에 [math] a^0 [/math] 을 곱해서 [math] a^b [/math] 이 되었으므로 [math] a^0 [/math] 을 연산에서의 곱셈에 대한 항등원으로 생각할 수 있다. 정수 범위에서 곱셈에 대한 항등원으로 [math] a^0 [/math] 을 1로 정의하는 것이다.

[math] a^b \times a^c = a ^{\left(b+c\right)} [/math] 에 대해 [math]c=-b[/math]인 경우를 살펴보면 [math] a^b \times a^{\left(-b\right)} = a ^{\left(b-b\right)} = a^0 = 1 [/math] 이다. [math]a^{b}[/math] 에 [math]a^{-b}[/math] 를 곱했더니 곱셈에 대한 항등원인 1이 나왔다. 따라서 [math] a^{-b} [/math] 는 [math] a^b [/math] 의 곱셈에 대한 역원으로 볼 수 있다. 따라서 [math] a^{-b} = {1 \over a^{b} } [/math] 인 것이다.

[math] x^{1 \over n} [/math] 을 생각해보자. [math] x^{1 \over n} = a [/math] 로 둔 다음에 양변을 n제곱해보면 이것은 [math] x = a^n [/math] 이므로 [math]a[/math]를 [math]x[/math]의 [math]n[/math]제곱근으로 생각할 수 있다. 그래서 [math] x^{{1 \over n}} =\sqrt[n]{x} [/math] 이 되는 것이다.

여기까지 하면 그나마 어느정도까지 왔다. 일단 유리수까지 정의했으니까. 다음은 중등교육과정 수준에서는 실수일때도 성립하니까 왜 그런지는 신경쓰지 말고 그냥 쓰라고 나온다. 어쩔수 없는게 중등교육과정 수준에서는 실수에 대해 엄밀한 정의를 하지 않고 넘어가고 있기 때문이다.

어찌되었건 실수의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 [math]\pi[/math]에 대해 [math]3[/math], [math]3.1[/math], [math]3.14[/math], [math]3.141[/math], [math]3.1415[/math], …이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 [math]a^r[/math]는 [math]p=\lim r_{n}[/math]인 유리수열 [math]\left\{r_{n}\right\}[/math]을 이용하여 극한 [math]a^{p}:=\lim a^{r_{n}}[/math]로 정의한다. 이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다. 이렇게 하면 [math]2^{\pi}[/math] 는 [math]2^{3} , 2^{3.1} , 2^{3.14}[/math] ,…인 수열의 극한으로 정의된다. 사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 [math]e[/math]에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의하고 자연로그를 통해 [math] a^x = e^{x \ln a} [/math] 를 이용해 일반적인 지수로 정의한다.

다음으로 복소수에서 정의하면 [math]e^{ix} = \cos x + i\sin x[/math]로 정의한다. 일반적인 복소수 지수는 [math] x^z = x^{a+bi} = e^{\left(a+bi\right) \ln x } [/math] 로 정의하게 된다. 이와 같은 방법을 통해 [math] i^i[/math] 와 같은 수도 정의 할 수 있다. [math] i^i = e^{i \ln i } = e^{ i \cdot i \pi \left(2n+ {1 \over 2}\right)} = e^{- \pi \left(2n+ {1 \over 2} \right) } [/math] 가 되고, 주치를 택하게 되면 [math] i^i = e^{- {\pi \over 2} } [/math] 가 된다. 즉 허수에 허수 제곱을 했더니 실수가 나오는 사태가 벌어진다.

3 함수의 지수

함수에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인 [math] f^{2}\left(x\right) = f \circ f\left(x\right) [/math] 의 축약형이다. 여기서 지수는 함수가 몇 번 합성됐느냐를 나타내며, 이는 미분방정식의 도함수( [math] d [/math] ), 편도함수( [math] \partial [/math] )에도 적용된다. 이것을 이용해서 함수의 제곱근을 구할 수도 있다.
단, 삼각함수는 예외로, 해당 각에 대한 삼각함수의 값을 제곱한 것이다. 헷갈리지 말자.

4 관련 문서

• 수학
• 연산
• 제곱수
• 지수함수
• 로거리듬
• 테트레이션

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