실로우 정리

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실로우 정리(Sylow theorem)은 유한군을 분석하기 위한 강력한 도구이다. 주어진 유한군의 구조에 대해 전혀 모르고, 위수(order)[1]만으로도 많은 정보를 주기 때문이다. 라그랑주의 정리가 부분군이 없음을 말하는 데에 유용하다면[2], 실로우의 정리는 부분군이 있다고 말하는 것에 유용하다.
학부 수준에서 군의 작용의 거의 유일한 응용이다.

실로우의 정리는, 위수가 소수의 거듭제곱꼴인 부분군에 대해 말해준다. 이하에서, [math]p[/math]는 어떤 소수를 나타낼 것이고, 군 [math]G[/math]는 유한군, [math]\text{exp}_{p}n[/math]은 [math]n[/math]이 갖는 [math]p[/math]의 지수를 나타낸다.[3]

1 몇 가지 정의들

1.1 [math]p[/math]-군

[math]G[/math]가 [math]p[/math]-군이라 함은, [math]\left|G\right|=p^{k}[/math][4]인 것이다.

1.2 [math]p[/math]-부분군

[math]H\ltG[/math]가 [math]p[/math]-부분군이라 함은, [math]\left|H\right|=p^{k}[/math][5]인 것이다. 이 문서에서는 이를 [math]H\lt_{p}G[/math]라 표현한다.

1.3 실로우-[math]p[/math]-부분군

[math]H\lt_{p}G[/math]가 실로우-[math]p[/math]-부분군이라 함은, [math]\text{exp}_{p}\left(\left|G\right|\right)=\text{exp}_{p}\left(\left|H\right|\right)[/math]인 것이다. 이 문서에서는 [math]G[/math]의 실로우-[math]p[/math]-부분군들의 모임을 [math]\text{Syl}_{p}G[/math]라 표현한다.

2 제 1 실로우 정리(1st Sylow theorem)

제 1 정리는 유한군에 대한 코시의 정리[6]의 확장이다. 그리고 증명에서 수학적 귀납법을 쓸 때, 기본 경우와 귀납 단계[7] 모두에 쓰인다.

제 1 실로우 정리(1st Sylow theorem)

[math]H\lt_{p}G[/math]가 [math]\text{exp}_{p}\left|G\right|\neq\text{exp}_{p}\left|H\right|[/math]이면, [math]K\lt_{p}G[/math]가 존재하여, [math]H\vartriangleleft K[/math]이고, [math]\left[K:H\right]=p[/math]이다.

여기서 다음 따름 정리를 얻는다.

[math]\text{Syl}_{p}\left(G\right)\neq\emptyset[/math]

이 따름 정리를 실로우 정리라 하는 경우가 더 많지만, 앞의 정리가 더 많은 내용을 담고 있어[8], 여기서는 앞의 정리를 실로우 정리라 하였다.

3 제 2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)

자명하게, [math]H\ltP\in\text{Syl}_{p}G[/math]에 대해, [math]H\lt_{p}G[/math]이다. 그러면 자연스러운 질문은, 임의의 [math]H\lt_{p}G[/math]에 대해, [math]P\in\text{Syl}_{p}G[/math]가 존재하여 [math]H\ltP[/math]인가 하는 문제이다. 제 2 정리는 그에 대한 대답을 해주며, 더 만족스럽다.

제 2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)

임의의 [math]P\in\text{Syl}_{p}G[/math]와 [math]H\lt_{p}G[/math]에 대해, [math]a\in G[/math]가 존재하여, [math]H\ltaPa^{-1}[/math]이다.

[math]aPa^{-1}\in\text{Syl}_{p}G[/math]이므로 질문에 대한 긍정적인 답을 얻었다. 한편, 임의의[math]Q\in\text{Syl}_{p}G[/math]도 [math]Q\lt_{p}G[/math]이므로, [math]Q\ltaPa^{-1}[/math]이다. [math]P[/math], [math]Q[/math]의 위수가 같으므로 [math]Q=aPa^{-1}[/math]이다. 여기서 다음의 따름 정리를 얻는다.

임의의 [math]P\in\text{Syl}_{p}G[/math]에 대해,
  • [math]\text{Syl}_{p}\left(G\right)=\left\{aPa^{-1}:a\in G\right\}[/math]이다.[9]
  • [math]P\vartriangleleft G [/math]와 [math]\text{Syl}_{p}\left(G\right)=\left\{ P\right\}[/math]는 동치이다.

따름 정리의 두번째 명제와 [math]P\vartriangleleft N_{G}\left(P\right)[/math]를 결합하여 다음을 얻는다.

[math]N_{G}\left(P\right)=N_{G}\left(N_{G}\left(P\right)\right)[/math]

그리고 이는, 유한멱영군이 [math]{\displaystyle \prod_{p}}\text{Syl}_{p}\left(G\right)[/math]꼴임을 보여준다.[10]

4 제 3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)

[math]\text{Syl}_{p}G[/math]에 대한 기본적인 질문 중 하나는 그것의 크기이다.즉, 실로우-[math]p[/math]-부분군의 갯수에 대해 알고 싶다. 제 3 정리는 가능성이 있는 갯수를 제한해준다. [math]n_{p}:=\left|\text{Syl}_{p}G\right|[/math]라 하자.

제 3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)
  • [math]n_{p}=\left[G:N_{G}\left(P\right)\right]\mid\left|G\right|[/math]
  • [math]n_{p}\equiv1\left(p\right)[/math]

이 정리는 정규부분군의 존재를 보이는 것에 아주 유용하다. [math]n_{p}=1[/math]라 결론짓기만 하면 되기 때문이다. 이 점이 실로우 정리의 가장 강력한 점이다. 대개 두 가지 방법이 있다.

단순히, 이 두 조건을 같이 쓰면, 어떤 소수 [math]p[/math]에 대해서는, [math]n_{p}=1[/math]이라 결론 내릴 수도 있다. 그렇지 않더라도 [math]q\mid \left|G\right|[/math]인 소수 [math]q[/math]에 대해, 모두 [math]n_{q}\gt1[/math]를 가정하여, [math]\left|G\right|\leq\left|{\displaystyle \bigcup_{p}}\left(\bigcup\text{Syl}_{p}G\right)\right|[/math]를 얻어 모순을 얻을 수도 있다.
  1. ↑ 군을 구성하는 원소의 수
  2. ↑ 라그랑주의 정리에 따르면, 위수가 15인 군에 위수가 4인 부분군은 있을 수 없다.
  3. ↑ [math]\text{exp}_{2}\left(2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5^{6}\right)=5[/math]이다.
  4. ↑ 군의 위수
  5. ↑ 군의 위수
  6. ↑ [math]p\mid \left|G\right|[/math]면, [math]1\neq a\in G[/math]가 존재하여, [math]a^{p}=1[/math]이다. 즉, [math]H\ltG[/math]이 존재하여 [math]p=\left|H\right|[/math]이다.
  7. ↑ 영문 위키에서는 base case와 induction step이라 표현하고 있는데, 이에 대한 공식적인 한글 번역을 알고 있는 분이 수정 바람.
  8. ↑ 그것이 유용한지와는 별개로
  9. ↑ 요약하자면, 실로우-[math]p[/math]-부분군은 서로 공액(conjugation)이라는 것이다. 이것을 제 2 정리라 하기도 한다.
  10. ↑ 위의 정리와 다른 정리에 따르면, [math]G[/math]가 멱영군일 때, [math]N_{G}\left(P\right)=G[/math]이다. 따라서, [math]P\in\text{Syl}_{p}\left(G\right)[/math]는 유일하여 관습상 [math]{\displaystyle \prod_{p}}\text{Syl}_{p}\left(G\right)[/math]라는 표현을 쓸 수 있다.