갈루아 이론

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1 개요

갈루아이론은 체의 대칭성에 대한 정보를 "손실 없이" 군으로 가져와, 연구하는 이론이다. 여기서 "손실"이 없다는 것은, 체의 확장(field extension)에서 부분체(subfiled)를 고정시키는 고정군(fixing group. 어떤 조건이 만족되면, 갈루아군(Galois group)이라 불린다.)에 여러 부분체가 대응되거나, 부분군(subgroup)에 대한 고정체(fixed field)가 여럿 대응되지 않는 상황을 일컫는다. 즉, 고정체와 고정군이 일대일 대응되는 상황을 다루고자 하는 것이다. 이 상황을 보장해주는 확장이 갈루아 확장(Galois extension)이며, 이 때의 일대일 대응을 갈루아 대응(Galois correspondence)라 부른다.

갈루아 이론의 가장 대표적인 사례가 대수방정식의 대수적 가해성 판별문제이다. 이 문제를 예로 들어, 갈루아 이론을 다시 설명하자면, 방정식의 차수가 높아질수록, 대수방정식이 풀리는 체의 확장에 대응되는 갈루아군의 대칭성이 떨어진다. 즉, 유리계수 5차 방정식부터는 갈루아군이 가해군(solvable group)이 아닐 수 있게 되어, 대수적 해법이 없게 된다.

이하에서는 체의 내용을 모두 이해했음을 가정하고, 유한 확대에 한해 설명하기로 한다. 무한 확대에 대해서는 말미에 간단히 언급할 것이다.

2 고정군(fixing group)과 고정체(fixed field)

2.1 고정군

체의 확장 [math]K/F[/math]에 대해, [math]\text{Aut}\left(K/F\right):=\left\{\sigma:K\rightarrow K:\left.\sigma\right|_{F}=\text{id}_{F}\right\}[/math]을 생각하자. 정의에서 쉽게 알 수 있듯이, 이는 [math]K[/math]동형군(autoporphsim group)에서, [math]F[/math]를 고정시키는 것만 뽑아 구성한 것이다.이 역시 군을 이룬다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 이를 "[math]F[/math]의 고정군(fixing group)"이라 한다.

고정군은 방정식의 근을 다시 방정식의 근으로 보내야한다. 즉, [math]\alpha\in K[/math]가 [math]f\in F\left[x\right][/math]의 근이라면, 임의의 [math]\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)[/math]에 대해, [math]\sigma\left(\alpha\right)[/math]도 [math]f[/math]의 근이어야 한다.

이를 설명해보자. [math]K[/math]에서의 [math]f[/math]의 분해체(splitting field)[math]L[/math]을 생각하자. 다음과 같은 사실이 알려져 있다.

임의의 [math]\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)[/math]에 대해, [math]\tau\in\text{Aut}\left(L/F\right)[/math]이 존재하여 [math]\left.\sigma\right|_{K}=\tau[/math]이다.

이제, [math]\alpha[/math]를 [math]f=\prod\left(x-\alpha_{i} \right)[/math]([math]\alpha_{i}\in L[/math], [math]\alpha=\alpha_{1}[/math])라 하자. 임의의 [math]\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)[/math]을 생각해보자. [math]\tau\in\text{Aut}\left(L/F\right)[/math]이 존재하여 [math]\left.\tau\right|_{K}=\sigma[/math]인데, 이것에 대해, [math]\left.\tau\right|_{F}=\text{id}_{F}[/math]이므로, [math]f=\tau\left(f\right)=\prod\left(x-\tau\left(\alpha_{i} \right)\right)[/math]이다. 따라서, [math]\tau\left(\alpha \right)=\sigma\left(\alpha\right)[/math]도 [math]f[/math]의 근이다. 이것을 바탕으로 다음과 같은, 다음의 고정군을 계산할 수 있다.

2.2 예

• 실수에서 복소수로의 확장, [math]C/R[/math]을 생각하자. 고등학교 때 배우는, 켤레 연산(conjugation)을 [math]\sigma[/math]라 하면, [math]\text{Aut}\left(C/R\right)=\left\{1, \sigma\right\}[/math]이다. 이는, [math]\sigma\left(i\right)=-i[/math]이고, [math]\pm i[/math]만이 [math]x^{2}+1=0[/math]의 근이기 때문이다.
• 유리수에 [math]2[/math]의 (실수인) [math]3[/math]중근 [math]\alpha[/math]를 추가한 확장 [math]\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}[/math]에 대해, [math]\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)=1[/math]이다. 이는, [math]\alpha[/math]는 [math]x^{3}-2=0[/math]의 근인데, 이것의 근들 중 [math]\mathbb{Q}\left(\alpha\right)[/math]에 속하는 것은, [math]\alpha[/math]뿐이기 때문이다.

2.3 고정체(fixed field)

체의 확장 [math]K/F[/math]에 대해, 고정군 [math]G:=\text{Aut}\left(K/F\right)[/math]과 그것의 부분군 [math]H\ltG[/math]을 생각하자. [math]K_{H}:=\left\{a\in K:\forall \sigma\in H\qquad \sigma\left(a\right)=a\right\}[/math]라
하면, 이는 체임을 쉽게 보일 수 있다. 그리고 [math]H[/math]에 의해 고정되는 것들만 모은 체이므로, "고정체(fixed field)"라 부른다.

정의에서 자명하게,

• [math]K/K_{H}/F[/math]
• [math]H\lt\text{Aut}\left(K/K_{H}\right)[/math]
• [math]K_{\text{Aut}\left(K/F\right)}/F[/math]

임을 알 수있다. 하지만, [math]K_{\text{Aut}\left(K/K_{H}\right)}\neq F[/math]일 수도 있다. 위에서 계산했듯이, [math]\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)=1[/math]이므로, [math]\mathbb{Q}\left(\alpha\right)_{\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)}=\mathbb{Q}\left(\alpha\right)\neq \mathbb{Q}[/math]이다. 즉, 여러 체에 대한 고정군이 같고, 이것이 대칭성의 손실이다. 무손실성을 위해 갈루아 확대란 개념이 필요하다.

3 갈루아 확대(Galois extension)

고정군은 체의 확장을 대칭성을 담고 있다. 하지만, 이것만으로는 체의 확장의 대칭성을 "손실 없이" 가져오기에는 무리가 있다. 이 무손실성을 보장하기 위해서는 체의 확대가 정규 확대(normal extension), 분리 확대(separable extension)여야하며, 이 정규이고 분리인 확대 즉, 정규분리 확대를 갈루아 확대(Galois extension)라 부른다.

대수방정식의 가해성에 대한 문제에서 갈루아 이론이 개발되었기에, 갈루아 이론은 대수방정식의 근의 치환을 다루는 것이라 보는 것이 편하다. 이는, 고정군은 방정식의 근을 다시 방정식의 근으로 보내야한다는 것에서 이미 본 사실이다. 여기서, 어떤 방정식에 대해, (1) 한 근을 다른 모든 근으로 치환할 수 있는가 (2) 근이 중복되지 않는가에 대해 질문할 수 있다. 이에 대한 답변이, 정규 확대와 분리 확대이다.

4 정규 확대(normal extension)

확대 [math]K[/math]가 체 [math]F[/math]의 정규 확대(normal extension)이라 함은, 다음이 성립하는 것이다.

임의의 기약 다항식 [math]f\in F\left[x\right][/math]에 대해, [math]\alpha\in K[/math]가 [math]f[/math]의 근이면, [math]\alpha_{i}\in K[/math]이 존재하여 [math]f=\prod \left(x-\alpha_{i}\right)[/math]이다.

4.1 정규 확대의 동치 조건

다음이 알려져 있다.

체의 확장 [math]K/F[/math]에 대해, TFAE

• [math]K/F[/math]는 정규 확대이다.
• [math]f\in F\left[x\right][/math]이 존재하여, [math]K[/math]는 [math]f[/math]에 의한 [math]F[/math]의 분해체이다.
• 모든 [math]E/K[/math], [math]\sigma\in\text{Aut}\left(E/F\right)[/math]에 대해, [math]\sigma\left(K\right)=K[/math]이다.

4.2 예

• 임의의 체는 자기 자신의 정규확대이다.
  • [math]\mathbb{R}/\mathbb{R}[/math]는 정규확대이다.
    [math]x^{2}+1\in R\left[x\right][/math]은, 기약이고 분해되지 않지만, 확대인 [math]\mathbb{R}[/math]에서 한 근을 가지지 않는다.
    [math]\left(x^{2}+1\right)x\in R\left[x\right][/math]은, 기약이고 한 근을 갖지만, 확대인 [math]\mathbb{R}[/math]에서 분해되지 않는다. 하지만, 기약이 아니다.
• [math]\mathbb{C}/\mathbb{R}[/math]
  [math]\mathbb{C}[/math]는, [math]x^{2}+1\in R\left[x\right][/math]에 의한 [math]\mathbb{R}[/math]의 분해체이다.
• 유리수에 [math]2[/math]의 (실수인) [math]3[/math]중근 [math]\alpha[/math]를 추가한 확장 [math]\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}[/math]는 정규확대가 아니다.
  [math]x^{3}-2\in \mathbb{Q}\left[x\right][/math]는 한 근 [math]\alpha[/math]의 최소다항식이다. 그러나 [math]\mathbb{Q}\left(\alpha\right)[/math]에는 다른 근들이 없다.
• 정규 확대는 추이적(transitive)이지 않다. 즉, [math]E/F[/math], [math]K/E[/math]가 모두 정규확대라 하더라도 [math]K/F[/math]는 정규확대가 아닐 수 있다.

5 분리 확대(separable extension)

5.1 분리 다항식(separable polynomial)

[math]f\in F\left[x\right][/math]가 분리 다항식(separable polynomial)이라 함은, [math]f[/math]가 중근을 갖지 않는다는 뜻이다.

• [math]\left(x-i\right)\left(x+i\right)=x^{2}+1\in R\left[x\right][/math]는 분리 다항식이다.
• 소수 [math]p[/math]에 대해, [math]x^{p}-a^{p}=\left(x-a\right)^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right][/math]는 분리 다항식이 아니다.

5.1.1 형식적 미분(formal derivative)

본래 미분은, 극한의 개념이 있어야하지만, 단순히 다항식이 이루는 벡터 공간 위의 선형 연산자로 이해할 수 있다. 그러면 보통의 미분과 아주 똑같이 작동한다. 그 특징들 중에서 미분이 "근의 중복도"를 하나 낮추는 기능을 한다는 것을 분리 다항식 판별에 적극 이용할 수 있다. 만약, [math]f[/math]가 중근을 갖는다면(한 근의 중복도가 [math]1[/math]보다 크다면), [math]f'[/math]에서도 그 근을 갖는다. 즉, [math]f[/math]가 중근을 갖는다면, [math]f[/math], [math]f'[/math]는 서로소가 아니다. 이의 역, 서로소가 아니면 중근을 갖지 않는다는 것도 쉽게 증명할 수 있다. 이에 의해 다음을 얻는다.

[math]f[/math]가 분리 다항식인 것과 [math]\left(f,f'\right)=1[/math]은 동치이다.

이를 이용하여 다음 결과를 얻는다.

• [math]f:=x^{p^{n}}-x\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left[x\right][/math]는 분리 다항식이다.
• [math]x^{p}-a^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right][/math]은 분리 다항식이 아니다.

5.2 완전체(perfect field)

체 [math]F[/math]가 완전체(perfect field)라 함은 다음이 성립하는 것이다.

* [math]\text{char.}F=0[/math]이거나

• [math]F^{\text{char.}F}=F[/math]

완전체 위에서, 다음이 성립한다.

* 기약 다항식은 분리 다항식이다.

• 분리 다항식은 서로 다른 기약 다항식의 곱이다.
• 역으로, 서로 다른 기약 다항식은 근이 서로 겹치지 않으므로, 서로 다른 기약 다항식의 곱은 분리 다항식이다.

정의와 정리에서 다음의 예들을 알 수 있다.

• 유리수체 [math]\mathbb{Q}[/math]는 표수가 [math]0[/math]이므로 완전체이다.
• 유한체는 완전체이다.
• [math]\left(x-a\right)^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right][/math]는 기약임에도 분리 다항식이 아니다다. 따라서 두 번째 명제에 의해 [math]\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)[/math]분해체는 완전체가 아니다.

5.3 분리 원소(separable element)

확대 [math]K/F[/math]에 대해, [math]F[/math] 위에서 대수적인 수 [math]\alpha\in K[/math]가 분리 원소(separable element)라 함은 다음이 성립하는 것이다.

[math]\alpha[/math]를 근으로 갖는 분리 다항식 [math]f\in F\left[x\right][/math]이 존재한다.

이는 다음과 동치이다.

[math]F[/math]위에서의 [math]\alpha[/math]의 최소 다항식이 분리 다항식이다.

• 유한체[math]\text{Gal}\left(p^{n}\right)[/math]의 모든 원소는 [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]의 분리 원소이다.
• [math]a[/math]는 [math]\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)[/math]위의 분리 원소가 아니다.
  [math]\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)[/math]위에서의 [math]a[/math]의 최소 다항식은 [math]x^{p}-a^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right][/math]인데 이는 분리 다항식이 아니다.

5.4 분리 확대(separable extension)

확대 [math]K/F[/math]에 대해, [math]K/F[/math]가 분리 확대(separable extension)라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 [math]\alpha\in K[/math]는 분리원소이다.

분리 다항식을 다음과 같이 정의할 수도 있다.

[math]K/F[/math]에 대해, TFAE

• [math]K/F[/math]가 분리 확대이다.
• [math]\left|\sigma:K\hookrightarrow\overline{F}:\left.\sigma\right|_{F}=\text{id}_{F}\right|=\left[K:F\right][/math]

다음이 성립한다.

• 분리 확대의 추이성(transitivity)
  [math]K/E[/math], [math]E/F[/math]가 분리 확대이면, [math]K/F[/math] 또한 그러하다.
• 분리 다항식의 분해체는 분리 확대이다.
• 분리 원소에 의한 확대는 분리 확대이다.

5.5 갈루아 확대(Galois extension)

갈루아 확대(Galois extension)는 정규분리 확대를 뜻한다. 다음이 알려져 있다.

확대 [math]K/F[/math], 군[math]G\lt\text{Aut}\left(K/F\right)[/math]에 대해, [math]K/K_{G}[/math]는 갈루아 확대이다.

이는 다음을 증명하기 위한 보조 명제에 가깝다.

유한확대 [math]K/F[/math]에 대해, TFAE

• [math]K/F[/math]는 갈루아 확대이다.
• 분리다항식 [math]f\in F\left[x\right][/math]가 존재하여, [math]K[/math]는 [math]f[/math]에 의한 [math]F[/math]의 분해체이다.
• [math]\left|\text{Aut}\left(K/F\right)\right|=\left[K:F\right][/math]
• [math]K_{\text{Aut}\left(K/F\right)}=F[/math]

이들 동치조건들 중, 마지막 것이 (그토록 고대하던), 체의 대칭성을 "손실 없이" 군으로 이식해올 수 있다는 것을 의미한다. 분리 다항식의 분해체 조건은, 갈루아 이론이 어떻게 대수 방정식의 가해성 문제에 적용될 수 있는 지 알려준다. 다음 정의를 보자.

갈루아 군(Galois group)

• 갈루아 확대 [math]K/F[/math]에 대해, [math]\text{Gal}\left(K/F\right):=\text{Aut}\left(K/F\right)[/math]
• 분리다항식 [math]f\in F\left[x\right][/math]에 대해, [math]K[/math]를 [math]f[/math]에 의한 [math]F[/math]라 하자. 확대 [math]\text{Gal}\left(f\right):=\text{Gal}\left(K/F\right)[/math]

모든 갈루아 확대체는 [math]\text{Gal}\left(f\right)[/math] 꼴이고, [math]\mathbb{Q}[/math]는 완전체이므로, [math]f\in \mathbb{Q}\left[x\right][/math]가 분리다항식인 것은 아주 흔한 일이다. 이제, 대수적 해법이 존재하는 지 알고 싶은 [math]f\in \mathbb{Q}\left[x\right][/math]에 대해, [math]\text{Gal}\left(f\right)[/math]를 조사해주면 된다. 이것은 맨 마지막에 다룰 것이다.

6 갈루아 확대에서의 갈루아 대응(Galois correspondence)

갈루아 대응(Galois correspondence)은 갈루아 군과 확대체 사이에 일대일 대응을 보장해주는 정리이다. 더욱이, 갈루아 군과 확대체 사이에는 reversed inclusion으로 같은 의미가 성립함을 보여준다.

갈루아 확대 [math]K/F[/math]와 중간 체 [math]K/E/F[/math]에 대해, [math]K/E[/math]도 갈루아 확대이다.

갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory); 갈루아 대응(Galois correspondence)

갈루아 확대 [math]K/F[/math]에 대해,
(1) 중간 체들의 모임 [math]\left\{K/E/F\right\}[/math]와 부분군 [math]\left\{H\ltG:=\text{Gal}\left(K/F\right)\right\}[/math]사이에는 일대일 대응이 있다. 그 일대일 대응은, [math]E\longmapsto \text{Gal}\left(K/E\right)=H[/math], [math]H\longmapsto K_{H}=E[/math]로 주어진다.
(2) [math]K/E_{i}/F[/math]에 대해, [math]E_{2}/E_{1}\leftrightarrow\text{Gal}\left(K/E_{2}\right)\lt\text{Gal}\left(K/E_{1}\right)[/math]
(3) [math]\sigma\in G[/math]에 대해, [math]\text{Gal}\left(K/\sigma\left(E\right)\right)=\sigma H\sigma^{-1}[/math]
(4) [math]E/F[/math]가 갈루아 확대인 것과 [math]\text{Gal}\left(K/E\right)\vartriangleleft G[/math]은 동치이고, 이때, [math]\text{Gal}\left(E/F\right)\cong G/H[/math]이다.
(5) [math]\text{Gal}\left(K/E_{1}E_{2}\right)\cong H_{1}\cap H_{2}[/math], [math]\text{Gal}\left(K/E_{1}\cap E_{2}\right)\cong\left\langle H_{1},\, H_{2}\right\rangle [/math]

7 응용

표수가 0인 체 위의 다항식의 대수적 가해성에 대한 기준