나비에-스토크스 방정식

• 상위 문서 : 유체역학, 미분방정식, 밀레니엄 문제

밀레니엄 문제
미증명 이론	나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움
	리만 가설
	버츠와 스위너톤-다이어 추측
	양-밀스 질량 간극 가설
	호지 추측
	P-NP 문제
증명된 이론	푸앵카레 추측

Navier-Stokes equations

1 개요

나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian Fluid) 의 작용하는 힘과 운동량의 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. (뉴턴 제 2 법칙의 확장) 이 방정식은 물리학 중 역학에 관련된 수많은 곳에 널리 사용되고 있다.

수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간)상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지 그래프 구조가 매끄러운지 등이 증명되지 않았다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제이다.

1.1 기본형

[math]\displaystyle \frac{ \partial }{ \partial t } \left( \rho \mathbf{u} \right) + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) = \nabla \cdot \tau + \rho \mathbf{g}[/math]

가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.

1.2 비압축성 (incompressible)

비압축성일 경우 식이 상당히 간단해진다.

• 먼저 벡터를 사용해서 나타낸 식 벡터의 수많은 존재 이유 중 하나

[math]\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} - \nu \nabla^2 \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g} [/math]

• 직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식.

[math]\displaystyle \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial }{ \partial x_j } - \nu \frac{ \partial^2 }{ { \partial x_j }^2 } \right) u_i = - \frac{ \partial w }{ \partial x_i } + g_i [/math]

• 스칼라를 사용해서 나타낸 식

[math]\displaystyle x: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_x =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial x } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_x + \mu \frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_x [/math]

[math]\displaystyle y: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_y =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial y } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_y + \mu \frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_y [/math]

[math]\displaystyle z: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_z =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial z } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_z + \mu \frac{ \partial }{ \partial z } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_z [/math]

• 구면좌표계

[math]\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\phi}^{2}+u_{\theta}^{2}}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}\right)-2\frac{u_{r}+\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{\theta}\cot\theta}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right][/math]

[math]\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right][/math]

[math]\displaystyle \theta: \rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\theta}-u_{\phi}^{2}\cot\theta}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\theta}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right][/math]

• 원통좌표계

[math]\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{r}}{\partial z}-\frac{u_{\phi}^{2}}{r}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{r}}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right][/math]

[math]\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_{r}u_{\phi}}{r}\right) =[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{\phi}}{r^{2}}+\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}\right][/math]

[math]\displaystyle z: \rho\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)=[/math]
[math]\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{z}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}\right][/math]

1.2.1 비점성 (inviscid)

이때는 식이 더 간단해진다.

[math]\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g} [/math]

이 식은 오일러 방정식이라고도 한다.

1.3 압축성

[math] \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla \bar{p} + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{3} \nu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{g} [/math]

비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이는 이하생략.

공대가면 교양과목으로 다들 거쳐가는 관문이다(ABET을 실시하는 미국 공학과정에서도 2학년 이전에 지나가는 관문이다). 무섭게 생겼지만 당신이 이과생이라면 50% 이상의 확률로 보게 될 공식이니 친해지자.

2 설명

유체역학의 가장 기본이 되는 방정식. 물과 공기를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 프랑스 물리학자 클로드 루이 나비에와 영국 수학자 조지 스톡스의 이름을 따왔다.

나비에-스톡스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 [math]F=ma[/math]를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 '고정된 좌표계'에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다.

기계공학, 항공우주공학 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 토목공학, 화학공학 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다.

[math]\mathbf{u}[/math]는 유체의 속도, [math]\mathbf{g}[/math]는 중력가속도, [math]\rho[/math]는 밀도, [math]p[/math]는 압력, [math]\mu[/math]는 점성계수, [math]\nu[/math]는 점성계수를 밀도로 나눈 값, [math]w[/math]는 압력을 밀도로 나눈 값, [math]\mathbf{I}[/math]는 단위행렬, [math]\otimes[/math]는 텐서곱을 나타낸다. 비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 이게 증명되면 트리 다이어그램도 레알

문제는... 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항( [math] \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) [/math] )으로, 이 항(advective term)이 비선형이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형( [math] \mu \nabla^2 \mathbf{u} \rightarrow \nu \nabla^2 \mathbf{u} + {1 \over 3} \nu \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{u}\right) [/math] )으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반적인 풀이법이 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반적인 풀이법을 알아내거나, 이러한 풀이법이 존재하지 않음을 증명하는 것은 밀레니엄 문제 중 하나로 100만달러의 상금이 걸려 있다.

우리 주변에 항상 존재하는 공기와 물의 움직임을 기술하는 방정식이기 때문에 밀레니엄 문제 가운데 가장 실생활과 가깝게 연관된 문제이기도 하다. 예를 들면 난류(turbulence) 현상은 주변에서 흔히 볼 수 있고 많이 연구되어 있지만 아직도 학자들은 난류가 정확히 어떻게 나타나는지에 대해 모두 설명할 수가 없다.

어쨌든 이 나비에-스토크스 방정식의 일반적인 풀이법이 알려져 있지 않기 때문에, 유체의 움직임을 예측하려면 컴퓨터를 동원해서 이 방정식을 시뮬레이션하여 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법이다.이를 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 그런데 수치해석을 통해 구한다는 것은 수학적 엄밀해가 아니라 실용적으로 쓸 수 있는 '근사 값'을 구한다는 것이다. 보통 흐름이 복잡하지 않고 단순하다면 그 근사 값은 실제 현상과 거의 동일하며 오차는 소수점 한 참 아래 수준이 된다. 문제는 수학적 엄밀해가 아니므로 오차가 생길 수 있으며, 근사 값을 구할때 사용한 가정(경계조건이나 난류항, 격자의 개수 등)이 잘못 되었거나 하면 실제와 다른 결과가 나온다. 이 때문에 수퍼컴퓨터씩이나 동원해도 변수가 많은 일기예보가 종종 틀린다. 더 자세한 내용은 전산유체역학 참조.

푸앵카레 추측을 증명해낸 희대의 은둔 수학자 그리고리 페렐만이 이 문제에 관심을 가지고 연구 중이라는 명확치 않은 소문이 있다. 만약 그게 사실이라면 이 문제도 풀릴 날이 멀지 않은걸까? 하지만 아마 또 100만달러 안 받을거야 그렇게 또 100만 달러가 허공으로 사라지는 건가

만화 바텐더에도 잠시 언급되는데, 사사쿠라 류의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장한다.

히가시노 게이고의 소설 라플라스의 마녀에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로(!) 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다.

2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 오텔바예프(Mukhtarbay Otelbaev)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 [1]발표했으나 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다 #

3 관련 문서

• 밀레니엄 문제
• 항공우주공학
• 대기과학
• 유체역학
• 외계어