미적분

(무한소 해석학에서 넘어옴)

고등학교 2015개정 교육과정(2021학번 이후 세대 해당)에 관한 내용에 대해서는 미적분(교과) 문서를 참조하십시오.

1 개요

미적분 = 미분 + 적분

微積分
Calculus

‘미적분학 발명은 바퀴나 활자 인쇄의 발명만큼 극적이고 혁명적인 효과를 가져왔으며 그야말로 중력 등 보이지 않는 것을 볼 수 있게 한 것이다’ - 책 ‘수학의 언어’ 中
미적분이야말로 자연을 읽는 언어 - 케임브리지대 피터 헤인즈 교수

현대 수학, 나아가 현대 과학의 혁명과 발전을 이끄는 근간

미적분이 그대를 거부 하리라
미분! 적분! 이차함수!
한국 고딩의 원수
선행하는 학생에게도 원수다.

2 상세

미분과 적분을 합쳐서 부르는 말. 보통 합쳐서 미적분이라고 부른다. 함수의 국소적인 변화를 중점적으로 다루기 때문에 무한소 해석학으로 부르기도 한다. 고등학교나 대학교의 과목명도 마찬가지. 일부 중딩들에게는 미적분은 학문의 최종보스인 마냥 일컬어지는데, 실상 미적분은 그다지 어렵지도 않고문제가 어렵지 나중에는 구구단 급으로 자주 활용되는 모습을 보여준다. 페이크 최종보스? 사실 진짜 보스는 이거다. 이것도 있다 사실 미적분은 스킬을 쓰는 것보다 그 스킬을 쓸 수 있는 토대를 만드는 것이 더 어렵다. 이것을 주로 하는 분야가 해석학. 다만 과목을 고등학교 2학년에 배우는지라 아무것도 모르는 초, 중딩들에게 수학에 대해 겁을 줄때 미적분이다 어흥 무섭지 등으로 시전하는 모습이 종종 보인다. 근데 수능 30번 미적분 활용 문제는 고3, 심지어 재수생이 봐도 무섭다.(...)

학자가 보면 정말 구구단 수준이며[1] 일반물리만 해도 대부분의 문제에서 사용할 정도로 자주 쓰이지만 당장 대한민국 문과 수험생들의 천적인 대학수학능력시험/수학 나형에 한해서는 최종보스 역할을 하기도 한다.[2] 가형의 경우도 미적분에서 고난도 문제가 자주 출제된다.[3]

3 최초 발견(발명)자 논쟁 (뉴턴 vs 라이프니츠)

“내가 창시자” 말년까지 공방… 하지만 후대 학자들은 “표절 아니다” 결론

영국의 과학자 뉴턴과 독일의 철학자 겸 수학자 라이프니츠는 미적분을 누가 먼저 발견(발명)[4]했는지를 놓고 수십 년간 치열한 표절 공방을 벌였다. 사건은 런던의 출판업자 존 콜린스가 뉴턴의 미출간 자료 일부를 라이프니츠에게 보내준 데서 시작되었다. 뉴턴은 콜린스의 ‘배신행위’로 자신의 미적분 아이디어가 누출됐다고 주장했던 것.

뉴턴이 “라이프니츠가 내가 이미 발견한 미적분을 도둑질했다”고 비난한데 반해, 라이프니츠는 “비슷한 시기에 독자적으로 개발했을 뿐”이라고 대응했다고 한다. 한편 뉴턴과 라이프니츠 외에도 영국과 대륙의 과학자들까지 가세해 서로 편을 갈라 두 사람을 응원하며 한동안 교류를 중단했을 정도였다.

한편 후대 수학계는 콜린스가 넘겨준 미적분 자료를 보기 전에 라이프니츠도 미적분을 독자적으로 발명한 것으로 결론내렸다. 다만 시간 순서상 먼저 미적분의 개념을 발견(또는 발명)한 것은 뉴턴이라는 데에 아무도 이의를 제기하지 않는다.[5]

4 한국의 미적분 교육

4.1 고등학교

< 2009 개정 교육과정 기준 >
  • 미적분Ⅰ[6]
    • 수열의 극한: 수열의 극한, 무한급수(구 수1)[7]
    • 함수의 극한과 연속: 함수의 극한, 연속함수(구 수2, 미통기)
    • 다항함수의 미분법: 미분계수의 정의, 다항함수의 도함수, 도함수의 활용[8](구 수2, 미통기)
    • 다항함수의 적분법: 부정적분과 정적분, 정적분의 활용(구 미통기, 적통)
  • 미적분Ⅱ[9]
    • 지수함수와 로그함수: 지수함수와 로그함수의 뜻, 그래프, 극한과 미분법(구 수1)
    • 삼각함수: 삼각함수의 뜻, 그래프, 삼각함수의 덧셈정리, 극한과 미분법(구 수2)
    • 미분법: 여러 가지 미분법(몫의 미분법, 연쇄법칙, 역함수 정리, 이계도함수), 도함수의 활용(구 수2)
    • 적분법: 여러 가지 적분법, 정적분의 활용(구 적통)
  • 기하와 벡터[10]
    • 평면 곡선: 음함수의 미분법, 매개변수 함수의 미분법(구 수2)
    • 평면 벡터: 평면 운동의 속도, 가속도, 이동 거리(구 수2, 적통)
3단원 '공간 벡터에는 미적분에 관한 내용이 없음.'
< 2015 개정 교육과정 기준 >
  • 수학Ⅱ[11]
    • 함수의 극한과 연속
    • 함수의 미분
    • 함수의 적분[12]
  • 미적분[13]
    • 수열의 극한
    • 미분법 : 2009 개정교육과정 기준 미적분Ⅱ를 여기에 편성.
    • 적분법 : 위와 같음.

4.2 대학교

대학교 미적분학 교재로는 Stewart, Thomas[15], Kreyszig, Arfken 등이 유명하며, 일부 학교에서는 자체 교재를 사용한다.[16] 한편 경제학과나 경영학과 등에서도 경제수학/경영수학 강의 등에서 미적분을 가르치는데, 그 경우에는 주로 Chiang저나 Simon저의 경제수학 교과서를 주로 사용한다. 이들 교재 대부분이 외국 학자들이 쓴 책이라 어떤 교재에는 한국 고교 교과과정에서 다루고 있는 내용이 포함되어 있기도 하다.[17]
이하는 대학에서 배우는 미적분의 주요 내용이다.(경제학과나 경영학과는 이 중에서 일부만 배운다.) 아래 중 벡터미적분은 공업수학내용을 다수 포함한다. 사실새로운 계나 곡률 혹은 벡터미적을 배우기 이전까지는 고교미적분과 크게 다르지 않다.

5 관련 항목

6 미적분학의 의의

6.1 역사적 의의

미적분학 이전의 수학은 플라톤의 이데아론이 말하듯 끊임없이 변화하는 현상계의 세계보다는 불변하는 관념의 세계를 다루는 경향이 있었다. 그러나 '변화'를 다루는 미적분이 만들어지자, 정적인 성격만을 가지고 있던 수학이 동적으로 변화하는 현상 세계를 다룰 수 있게 된 것이다. 수학이 현실과 동떨어진 세계에서 진짜 현실로 볼 수 있는 세계를 다룰 수 있게 되자, 서양의 과학은 폭발적으로 발전하게 된다. 그리고 배워야 할 것들도 폭발적으로 늘어났다 물론 오늘날 우리가 배우는 왠만한 고교수학의 내용은 망할 수학,철학자들에 의해 서기이전부터 완성되어있었다.

6.2 함수와 공간에 대한 의의

미적분학의 수학, 그 자체에서의 의미를 보면, "함수와 공간의 관계를 파악한다."로 요약된다. 고등학교 과정에서 나오는 미적분의 기본정리는 구간 [a, b]에서의 적분을 "원시함수의 양 끝점에서의 값의 차"로 나타낼 수 있다는 것을 의미하는데, 이것의 심화버전인 발산 정리와 스토크스 정리는 각각 2차원 곡면/1차원 곡선에서 벡터 함수의 적분을 해당 함수를 미분하여 3차원 공간/2차원 곡면에서 적분하는 것으로 바꿀 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 미분한 함수의 적분 영역의 경계선/경계면이 원래 함수의 적분 영역이 된다는 것을 의미한다. 다시 말해 미적분의 기본정리는 넓은 의미에서 함수와 공간의 대응 관계와 경로 무관성을 보여 준다고 할 수 있다.

6.3 미적분의 기본정리

미분과 적분이 모든 경우에 서로 반대라는 것을 증명한다. 이 정리로 인해, 모든 적분공식이 미분공식을 반대로하여 도출 될 수 있다.

구분구적법처럼 미분과 상관없이 도출되는 적분공식도 있다.
  1. ↑ 하지만 해석학을 이용한 일부 적분 공식은 교수가 봐도 그리 쉽지는 않다
  2. ↑ 다만 독해력을 요구하는 확률과 통계의 등장으로 개인차에 따라서 확률과 통계가 최종보스일 수도 있다. 확률과 통계는 쉬운 문제라도 지문 해석 능력이 부족하면 손도 못대지만 미적분은 쉬운 문제는 언어영역, 수학영역이 둘다 하위권이라도 10초 만에 풀 수 있다. 중~하 난이도의 미적분 문제는 기본적으로 지문해석을 요구하지 않거나 요구하더라도 매우 간단하기 때문이다.
  3. ↑ 수능 및 모의고사 출제된 킬러 문제들은 미적분에서는 거의 함수와 연관되어 높은 사고를 요구하는 것들이었다.
  4. ↑ 미적분의 발견이라고 하여야 하는 것이 맞는지, 미적분의 발명이라고 하는게 맞는지에 대하여 의견대립이 있다
  5. ↑ 그러나 학계에서는 새로운 개념에 대해서 먼저 깨닫는 것이 중요한 것이 아니고, 먼저 발표하는 것이 중요하다. 뉴턴이 미적분 개념에 대해 먼저 깨우친 것은 전 세계 누구나 동의하는 사실이지만 그것을 여기저기에 흘렸을 뿐, 미적분 개념에 대한 공식적인 발표는 미루었기에 이 논쟁이 존재하는 것이다. 만약 뉴턴이 먼저 깨달았는데, 먼저 공식 발표까지 했으면 논쟁은 존재하지도 않았을 것이다.
  6. ↑ 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 문/이과 공통으로 배운다.
  7. ↑ 2011 개정 교육과정 해설서에는 그냥 '급수'라고만 되어 있다.
  8. ↑ 원래 이과 학생들만 배웠던 롤의 정리와 평균값의 정리가 미적분 I에 추가되면서 문과 학생들도 배우게 되었다.
  9. ↑ 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.영원히 고통받는 이과생 문과 놀리기
  10. ↑ 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.영원히 고통받는 이과생 문과 놀리기
  11. ↑ 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 문/이과 공통으로 배운다.
  12. ↑ 위의 함수의 미분과 마찬가지로 '다항 함수'만을 다룬다. 삼각함수, 지수함수 및 기타 응용에 관한 이론은 미적분에서 배운다.
  13. ↑ 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용된다. 선택과목으로 개설되었다. 이전과 달리 한 반에 떡하니 시간표에 배치되어 있는 게 아니라 대학교 방식처럼 선택 및 학급 이동으로 이수하는 것이 도입되었다.
  14. ↑ 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 상경 계열에 진학할 학생들을 위해 개설된 진로 선택 과목. 이 경우에는 지수함수의 미분, 수열의 극한, 함수의 극한 등과 같은 미분의 기초 응용 내용에 한정함.
  15. ↑ 2014년 이후로 원서는 한국에 나오지 않음 (번역판은 2016년 10월 현재까지도 판매중). 2016년 현재 포항공과대학교에서 사용중이다. 고려대학교의 경우는 2014년 2학기까지 Thomas 쓰다가, 책 안나온다며 이후 Stewart로 갈아탔다 (당연히 원서만 공식 채택 대상이며, 단 재수강생을 배려하여 2015년 계절학기까지는 그대로 Thomas 사용함). 자세한 사정은 추가바람
  16. ↑ 대표적으로 서울대학교, 단국대학교가 있다. 서울대학교 미적분학 교재의 경우 고등학교에서 배운 내용이 모두 빠지고 급수부터 시작하며, 미분방정식, 곡선 및 벡터해석 파트가 강화되어 있다. 또한 여러 정리의 증명을 상세하게 실어 놓았다. 그래서인지 서울대의 미적분학 교재는 세상에서 가장 어렵다는 카더라가 있다. 서울대 경제학과 학생들만 죽어난다. 반면 단국대학교 미적분학 교재의 경우는 고등학교에서 배운 내용부터 시작하며 미적분학 전체에서 일부가 빠져있다. 그리고 그린정리 이후의 벡터해석의 내용이 빠져있다.
  17. ↑ 예를 들어. Stewart저가 그러하다.