란체스터 법칙

1 개요

영국의 항공공학 엔지니어인 F.W. 란체스터가 고안한 역학관계에서의 법칙을 응용한 기업전략으로 그 중에 대중에 나름대로 잘 알려진 것이 제1법칙과 제2법칙이다.

란체스터는 세계대전의 공중전 결과를 분석하면서 재미있는 원리를 발견하여 2가지 법칙을 고안하였다. 이 법칙은 제2차 세계대전에서 연합군의 중요한 전략으로 이용되었다.

전쟁이 끝나고 1960년이 되자 이 법칙은 경영학의 주요 원리로 다시 조명받기 시작한다. 한정된 자본을 어디에 투자해야 경쟁자보다 효율적인 수익을 거둘 것인가를 결정하는 중요한 기업전략의 기반으로 거듭난 것.

한 마디로 상호간의 성능이 동일할 경우 2법칙으로는 숫자가 많은 쪽이 적은 쪽보다 피해를 덜 입으면서 적을 제압할 수 있다는 것이다. 게다가 소수 진영에서는 근거리전보다 원거리전에서 더 많은 피해를 입는다. 간단히 생각해서 같은 성능의 비행기 5대와 4대가 싸우면 5대인 쪽이 1대가 아닌 3대가 살아남는다는 이야기가 된다.

2 세부 원리

2.1 란체스터 제1법칙

점 대 점의 전투

백병전과 같은 경우처럼 근접한 거리에서 상호간의 성능이 동일하고 전투상황의 제약을 받을 경우 m만큼의 병력을 가진 자와 n만큼의 병력을 가진 자가 싸우면 살아남는 병력의 수는 m-n이다. (n병력이 길목막고 버틸 때 상호교환 되는 피해량은 동일하며 m도 n만큼의 손실을 입는다.)

개인간의 전투시 공격력 = 양 X 질

전투시 공중전에서와 같이 1대1로 승부를 할 경우를 우선 상정한다. 여기서 전투기의 수가 많거나 무기의 성능이 좋은 쪽이 손실이 적을 것이다. 이것은 누구나 생각하고 알 수 있는 간단한 원리로, 승리를 거두려면 적보다 많은 병력을 동원하여 승부를 보거나 질적으로 더 우수한 병기를 동원하라는 것이다.

2.2 란체스터 제2법칙(리베르타의 법칙)

면 대 면의 전투 (그러니까 제곱이다.)

리베르타의 법칙은 전투시 전력 손실률을 계산하는 방법이다. 란체스터 제2법칙이라고도 한다.

근거리가 아닌 경우, 화력의 집중이 가능하기 때문에 마찬가지 경우에서 살아남는 병력의 수는 [math] \sqrt{m^2-n^2} [/math]이다. 이 식은 미분방정식을 이용, 이러한 과정을 통해 유도할 수 있다.[1]

그룹간의 전투시 공격력 = 무기 성능 X 양의 제곱

거대한 그룹간의 전투가 벌어진다면 개인간의 전투와 달리 병기와 역할분담이 추가된다. 이렇게 싸움이 확률싸움으로 간다면 그 공격력은 각 양의 제곱이 된다. 개인간의 전투인 1vs1(PVP) 보다 더 심각하게 양의 차이가 압도적인 수로 계산된다.

이것의 공식은 A>B 일때 즉 A가 B보다 많을 때 아래와 같이 계산한다.

A의 생존자 = √(A² - B²)
B의 생존자 = 0

3 전제 및 응용과 극복

일단 란체스터 법칙상으로는 소수가 절대적으로 불리하다. 하지만 란체스터 법칙이 성립하기 위해서는 몇가지 전제가 필요하다.

  • 전장에서 정면으로 충돌해야 한다. 예를 들면 한 쪽은 가만히 있는데 다른 쪽은 숨어있다가 기습하는 경우 등을 제외한다는 이야기. 다시 말해서 컨트롤이나 변칙이 일절 개입하지 않는 상태에서 양 세력이 들이받는 것을 말한다.
  • 지형지물이나 보급상황 등 다른 요소는 없거나 동등하다고 가정해야 한다. 만일 한 쪽이 험준한 지형의 혜택을 받거나 보급 상황이 좋거나, 혹은 공성전 같은 상황이면 란체스터 법칙을 그대로 적용하기 힘들어진다.

따라서 이 전제들을 파고 들면 란체스터 법칙의 영향하에서도 소수가 다수를 이길 수 있긴 하다. 하지만 이를 위해서는 빡센 컨트롤, 즉 전략과 전술을 잘 짜는 것은 기본으로 들어간다. 한마디로 말해서 소수가 다수를 이길 수는 있지만 그마저도 힘든 건 어쩔 수 없다.

3.1 각개격파

일단 란체스터 법칙대로라면 쪽수가 높으면 장땡이라고 생각될지 모르지만 사실 꼭 그렇지만은 않다. 이미 위에서 지적한 바와 같이 전장에서 충돌할 때(전술단위)만 상대방보다 병력이 많으면 된다. 전략단위에서 항상 적보다 우세한 병력을 가지는 것이 어렵다면 선택과 집중을 통해 아군 병력을 모으고, 반대로 적의 병력을 분산시켜서 결론적으로 "전장에서 직접 부대끼는" 적보다 숫자가 많으면 된다는 것이다. 따라서 소수의 침공군이 방어군을 상대로 하여 보급과 공성 등 불리한 조건을 가지기 때문에 방자가 3배로 유리하다고 하지만 공자 역시 전술적 집중과 선택을 통해서 이를 극복할 수 있다는 것이다. 가장 좋은게 여러 곳을 찌르고 치고빠지기를 하면서 적을 각개격파 하는 것이고.

위의 예시에서도 어느 한 편의 4대의 전투기가 상대방 진영의 전투기 5대가 진영을 갖추기 전에 1대씩 각개격파를 하는 수도 있다. 이 경우는 4:1을 5번 반복시키는 것이므로 란체스터의 법칙에 위배되지도 않는다.

손자병법에서도 "전쟁을 하는 방법은, 적군보다 10배의 병력이면 포위하고, 5배의 병력이면 공격하고, 2배의 병력이면 적을 분리시킨 후 차례로 공격하고, 맞먹는 병력이면 최선을 다하여 싸우고, 적보다 적은 병력이면 도망치고, 승산이 없으면 피한다." 라고 하여 아군이 수적으로 유리할 때는 공세를, 그렇지 않을 때는 적을 분산시켜 수적 유리를 만들어 내라는 전법을 정확히 제시하고 있다.

이것을 제대로 활용한 대표적인 예로는 나폴레옹 보나파르트의 경우가 있다. 그의 전체적인 병력 규모는 적군보다 적었지만 상대보다 두 배 가량 빠른 기동력을 이용하여 그 열세를 극복하였다.[2] 나폴레옹의 부하가 "폐하는 늘 소수로 다수를 이겼다."라고 하자 "아니다. 나는 늘 다수로 소수를 이겼다."라고 말한 것이 이를 증명해준다.[3]

지리적 위치 때문에 언제나 양면 혹은 다면전쟁의 위험에 싸여있던 프로이센 이후 근대 독일군의 경우 고속기동과 화력의 집중을 통한 각개격파, 즉 기동전을 고도로 발전시켰다.

이런 이유 때문에 병력을 나누어서 한 곳에 투입하는 축차투입은 특수한 경우가 아니면 대개 실책 취급받는다. 그냥 모아놓으면 상대방보다 우월한 숫자를 유지할 수 있건만 병력이 분산된 채로 투입하니 이쪽 입장에서는 병력과 장비를 적에게 헌납하려는 것처럼 보이기 때문이다.

그러나 이런 각개격파조차 란체스터의 법칙을 완전히 해결하지는 못한다. 명백히 압도적인 숫자의 군대가 계속해서 소모전을 강요하면 소수의 군대는 지속해서 피해가 쌓이고 적은 피해라 할 지라도 소수의 군대에는 명확히 큰 손실이다. 일례로 독일 국방군의 소규모 정예부대가 소련군이나 미군을 상대로 각개격파를 시도해 성공했어도, 연합군이 미국의 쇼미더머니와 랜드리스, 소련의 그냥 많이 만든 전차로 끊임없이 대규모의 재보급과 충원을 했기 때문에, 국방군의 전력은 계속해서 소모되었다. 또한 전투 손실은 물론이거니와 비전투 손실도 만만찮다. 병력이 많으면 병사들을 돌려가며 휴식을 주고, 보급을 원활히 하는 등 최상까지는 아니더라도 제법 그럴듯하게 병력의 질을 유지할 수 있다. 반면 소규모의 군대는 지속적으로 전투를 강요당하기 때문에, 결국 피로와 보급난항으로 몰락한다. 인간을 초월한 에이스들이 즐비했던 2차대전시 루프트바페도 에이스가 되거나 하늘에서 제대하거나 수준으로 혹사당하면서 소모되었다. 2차대전이외에도 남북전쟁의 율리시스 S. 그랜트, 결국 고구려를 멸망시킨 당나라, 분전하는 소수의 보어인들을 상대로 영국군이 물량과 초토화전술로 밀어버린 보어전쟁 등의 넘쳐나는 사례가 있다. 그리고 정작 이를 제대로 보여준 나폴레옹조차 마지막엔 패배한다. 때문에 소수의 군대는 승리를 위해서는 최대한 소모전을 피해 자군의 피해를 줄이고 단기적으로 전쟁을 끝낼 방법을 찾아야 한다. 이를 위해선 단순한 전략-전술적 행동뿐만 아니라, 적국의 전쟁수행의지를 꺾고 강화협상을 시도하도록 유도하는 등 정치-외교상의 해결 방책도 찾아야 한다.

3.2 정예화

란체스터 제 1법칙은 전투력=양*질이므로, 숫자가 좀 적더라도 정예화된 병력을 보유하면 이를 이용해서 약간의 병력 우세를 무력화시킬 수 있다. 앞서 말한 각개격파시에도 충분히 유용한데, 적보다 빠르게 움직이고도 전투력을 유지할 수 있는 병력은 그 자체만으로도 정예병력이기 때문이다.

역시 이를 잘 이용한 예로는 이순신 장군이 있다. 당대의 판옥선과 왜선 사이의 성능 차이가 컸으며 이순신이 이끄는 조선 수군은 돌격용으로 거북선까지 보유했기 때문에 정예화에도 성공했으므로 엄청난 교환비를 이끌어낼 수 있었던 것이다. 이렇기에 적군의 수적 우세를 무력화하고 아군의 수적 우세를 일시적으로 극대화한[4] 성공적인 전략으로 역사에 남을 수 있었다.

이런 이유로 인해 단순히 숫자만 채워놓으면 땡이라는 무식한 인해전술 병력조달법 역시 비판을 받는다. 총소리 한번 나면 겁을 먹어서 콩알 튀듯이 흩어지는 병력은 전혀 도움이 안 되며, 병력을 제대로 사용하려면 적절한 훈련과 제대로 된 장비를 지급해야 한다는 것을 알 수 있다.

대표적인 경우가 2차대전 당시 독일군의 티거 중전차라고 볼수 있다. 숫적인 면에서는 소련군 T-34에 비하면 한창 떨어지지만 독일 특유의 기술력으로 만든 두꺼운 장갑과 만능화포 88mm, 숱한 실전을 통해 정예화 된 전차병들이라는 조합으로 많은 수의 T-34의 뚜껑을 따며 전설적인 기록들을 만들 수 있었다.[5] 티거를 만들 자원이면 대충 계산해서 약 3대의 4호 전차를 만들 수 있었겠지만, 전투력이 압도적이었던 티거와 달리 4호 전차는 잘 쳐줘봐야 T-34와 대등한 수준이었으므로 4호 전차 3대가 티거 1대분의 활약을 한다는 보장은 없다. 그리고 티거 1500대 대신 4호 전차 5000대를 생산해봤자 5만대 가량 생산된 T-34를 상대로 물량전을 벌이면 질 수 밖에 없다. 총 생산량에 크나큰 제약이 있던 독일군의 입장에서는 극단적인 정예화를 통해 물량의 격차를 극복하는 것이 타당한 방침이었던 것이다. 역으로 끝내 소련군의 T-34가 전쟁에서 이길 수 있던 것도, 단순히 물량만 많은 것이 아니라 전차의 성능을 개량하고 승무원들의 자질도 향상시켜서 질적 격차를 수적 우위로 커버가 가능할 정도로 줄일 수 있었기에 가능한 것이다.

비슷하게 스타크래프트2 경기에서도 찾아볼 수 있는데 병력이 비슷하거나 적더라도 업그레이드가 앞서있으면 타이밍잡고 밀어버리는 상황이 자주 나온다.

3.3 대량살상무기

란체스터의 법칙을 현대에 적용시키기 어려운 이유. 물론 현대전이라도 여러가지 조약에 의해서 대량살상무기는 사용이 금지되어 있어서 보통은 재래식 무기로만 싸우지만 국가가 망하기 직전의 상황이라면 그런 조약을 지킬 가능성은 거의 없다. 이런 이유로 위협적인 대량살상무기를 가진 나라를 상대로는 병력의 질이나 수에서 확실하게 앞서는 패권국조차 정당한 명분이 생겨도 전쟁까지 벌이는 것은 꺼린다. 북한이 수소폭탄을 만드려고 발광하는 이유.

4 예시

란체스터 법칙(특히 제2법칙)이 가장 잘 들어맞는 경우는 지형 차이가 없고 비슷한 성능/역할의 상대끼리 한 곳에 죄다 모여서 대규모 회전을 벌일 가능성이 높은, 그러니까 단종진을 치고 싸우기 일쑤였던 근대 수상함대 간의 포격전이다. 반면 함대원형진으로 해군 주 전법이 전환되고 항공력과 그를 막아내는 방공전력의 강화로 해군전력 발달의 방향이 바뀐 현대 해전에는 이전만큼은 잘 적용되지 않는다. 이로 인해 현대 해전은 기존 란체스터 법칙을 변형하여 방어력[6]의 개념을 도입한 Salvo combat이란 이름의 모델을 사용한다.

많은 RTS 게임의 전투 역시 이 법칙이 반영되어 있다. 예를 들면 공격력에 전혀 도움이 되지 않을 것으로 여겨지는 이동속도가 실전에서 전황에 큰 영향을 주는 것 등이 있다.그러니까 발업 질럿으로 메카닉 쌈싸먹는 기분 위에서 말한 둘러싸기가 이동속도가 빠른 쪽에서 더 많이 발생하기 때문. 물론 유닛간 상성 개념이 포함되면 '상호간의 성능이 동일'이 깨지므로 전투 양상이 달라진다. 사실 이 법칙 때문에 적에 대한 정찰과 이를 바탕으로 한 적절한 타이밍의 업그레이드 혹은 테크 상승이 필요한 것이다. 한정된 자원으로 무리하게 업그레이드를 하거나 테크를 올려서 한타 때 전력의 수가 부족하다면 아무리 풀업된 고급 유닛을 보유한다 해도 중과부적의 상황이 되기 때문이다.

EVE 온라인에서는 로지스틱(힐러) 함선이 있는 모든 전투, 혹은 자체적인 수리 능력이 있는 함선끼리 싸울 때 Salvo Combat 모델이 적용된다. 다만 화력의 집중이 이루어져서 로지스틱의 원격 수리나 자체 수리가 들어가기도 전에 함선이 한방에 격파되는 세팅이 되는 대규모 함대전에서는 Salvo Combat에서 이야기하는 방어력이 0으로 수렴하므로 다시 란체스터 2법칙이 적용된다.

AOS 게임 같은 경우에도 잘 찾아볼 수 있는 경우다. 서로가 비등하게 컸을 때, 또한 비슷한 컨트롤 능력일 경우, 4:5 싸움을 했음에도 불구하고 적이 한 명이 아닌 세 명 이상 살아가는 경우가 적지 않은 이유는 이 때문. 되려 성장은 비슷한데 컨트롤이 숫자가 적은 측이 뛰어나다면 (게임 특성상 거의 그럴일은 없겠지만) 각개격파를 통한 숫적 우위의 역전을 도리어 노릴 수도 있다. 힐러의 회복 능력과 적의 논타겟형 스킬을 회피하는 능력은 Salvo Combat에서 이야기하는 방어력으로 작용한다.

월드 오브 탱크처럼 좁은 공간에서 15:15로 싸우는 경우에는 제2법칙을 더더욱 뼈저리게 느낄 수 있다. 아군 중 한두명이 먼저 사망해버릴 경우 전력의 차이가 제곱으로 벌어지면서 판을 뒤집기 힘들어진다. 반대로 극단적으로 정예화된 플레이어는 대규모 전투가 벌어지는 와중에 소규모로 분산된 적을 팀플레이로 피해 없이 잡아내거나, 숫적으로 크게 밀리는 상황에서도 전술적인 기동으로 적이 축차 투입을 하도록 강요한 뒤 하나씩 격파하는 식으로 역전극을 만들 수도 있다.[7] 만약 클랜전처럼 플레이어 30명 모두가 정예화된 경우에는 화력 집중이 이루어져 적의 숫자를 먼저 줄이는 쪽이 이긴다. 일점사의 중요성, 이제 알겠죠?

  • 월드 오브 탱크에서는 도탄의 개념이 있으므로 정확히는 Salvo Combat 모델이 적용된다. 전면 장갑이 뛰어난 전차가 길목을 제대로 틀어막으면 화력의 차이가 남에도 불구하고 오래 살아남을 수 있고, 1:1 상황에서 공격력이 동일할 때 티타임/역티타임 등으로 적탄을 튕겨내면 승리할 가능성이 높은 것을 설명할 수 있다.
  1. ↑ 참고로 이 법칙은 Play XP 유저가 워크래프트3의 히포그리프를 통해 실험을 한 적이 있다. 결과는 정확히 일치.
  2. ↑ 참고로 이렇게 기동과 화망의 형성으로 순간적인 화력을 집중하여 적을 제압하는 전술은 나폴레옹 이전의 프랑스 군인이자 조르주 상드(쇼팽의 연인)의 증조부인 모리스 드 삭스가 체계화한 것이라고 한다. 물론 이걸 발굴해 최대한으로 발휘한 나폴레옹도 대단하기는 하다.
  3. ↑ 다만 기동력을 위해서 병사들과 행군로 근처 주민들이 지대한 고통을 겪어야만 했다. 나폴레옹의 군대가 기동력이 두배였던 가장 큰 이유는 천막이나 취사도구 같은 물자를 최소 한도로 줄였기 때문이다. 병사들은 짚더미나 널판지, 상황이 여의치 않으면 맨땅에 그냥 잤다. 행군로 주변의 주민들은 물자를 징발당했는데 가재도구나 식량을 가져가는 건 양반이고 문짝을 뜯어가 병사들이 깔고 자는데 쓰였고 심하면 지붕의 짚더미나 널판지도 모조리 뜯어가 집이고 뭐고 남아나는게 없는 경우도 있었다고 한다. 그리고 나폴레옹의 적들도 이걸 따라해 나중에는 높은 기동력이라는 장점을 상실하게 된다.
  4. ↑ 판옥선과 거북선의 성능차가 크긴 했지만, 그것만으로는 한번도 수적 우위를 점한 적이 없던 조선 수군이 무작정 '어택땅'을 시도하면 패퇴할게 뻔했다. 이순신은 이를 보완하기 위해 선제 기습공격(옥포 해전, 당항포 해전 등), 유인 후 포위섬멸(한산도 대첩), 지형과 해류를 통한 축차투입의 강요(명량 해전) 등을 통해 우위를 극대화했다.칠천량 해전의 사례와 그 때의 지휘관도 잘 살펴보자...
  5. ↑ 거기에 소련의 사방이 탁 트인 지형은 티거의 장거리 타격 능력을 극대화하기 안성맞춤인 지형이었다.
  6. ↑ 적이 입히는 피해를 지속적으로 감소시키는 능력. 현대의 함대전에서는 적의 미사일을 RIM-116 RAM이나 CIWS 등으로 사전에 격추하는 능력으로 생각할 수 있다.
  7. ↑ 제1법칙이 적용되는 상황을 만들 경우 지형을 활용하는 능력은 정예화의 수준으로 간주할 수 있다.