리만 가설

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밀레니엄 문제
미증명 이론	나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움
	리만 가설
	버츠와 스위너톤-다이어 추측
	양-밀스 질량 간극 가설
	호지 추측
	P-NP 문제
증명된 이론	푸앵카레 추측

1 개요

리만 제타 함수 [math]\zeta\left(s\right) = 0[/math]을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 [math]\frac{1}{2}[/math]이다.

정수론 최종보스

밀레니엄 문제의 하나로 수학자 '베른하르트 리만'이 세운 가설이며 이를 증명하는 것은 아직까지 풀리지 않은 정수론 최고난도 문제가 되었다. 현 세대 정수론의 끝판왕 문제. 다른 밀레니엄 문제들과 마찬가지로 이걸 풀다 끝까지 털끝도 못 건드리고 후회하고 포기하거나 미쳐나간 인간은 정말 수없이 많다.

2 어떤 문제인가

일단 NHK 다큐멘터리를 보자.

영상을 아주아주아주 간단하게 요약하면 이렇다. 수학자 오일러는 소수(약수가 자신과 1, 즉 2개만 있는 수)의 규칙성에 대해 연구를 하는데, 2 3 5 7 11 13 17 19.....13999 14009....로 무한하게 나오는 소수들에서는 어떠한 규칙도 찾을 수가 없었다. 하지만 결국 오일러는 소수의 분포를 대략적으로 알아내는 함수를 찾게된다. 그리고 훗날의 수학자 리만은 오일러의 함수를 변형하여 입체적인 그래프를 만드는데, 놀랍게도 이 그래프에서 리만이 계산한 4개의 제로점은 모두 일직선상에 있던 것이다. 그래서 리만은 다른 제로점 역시 모두 일직선상에 있는 것이 아닌가라고 추측한 것이 리만 가설의 대략적인 이야기다.

리만이 가설을 내놓은 이후, 많은 유명 수학자들이 이것의 증명에 도전했지만 실패하였다. 단지 그 과정에서 얻어진 성과는 리만의 제로점들 뒤로 일직선상에 무수하게 많은 제로점들이 있다는 것. 하지만 일직선을 벗어난 곳에 제로점이 있을 가능성을 배제할 수 없기 때문에 증명이라고 할 수 없었다. 그리고 공교롭게도 천재 수학자인 존 내시가 이것을 연구한 이후 정신분열증이 생겼기 때문에 한동안 수학계에는 이것에 대해 연구하는 것을 꺼리는 분위기가 생기게 된다. 하지만 우연한 수학자와 물리학자의 만남에서 리만 가설이 원자학과도 관련이 있다는 것이 알려지면서 소수의 규칙이 자연의 원리로 재 조명 받으며 다시 연구되기 시작했다는 이야기.

3 수학적 설명

리만 가설은 소수의 분포, 즉 보다 정확히 말하자면 주어진 수(x)보다 크지 않은 소수의 개수 [math]\pi\left(x\right)[/math]에 대한 문제와 관련이 있다. 가우스는 관찰을 통해 [math]\pi(x)[/math]가 [math]\frac{x}{\ln x}[/math]에 근사한다는 소수 정리(prime number theorem)을 제시하였고, 이 '소수의 규칙'을 얼마나 정밀하게 나타낼 수 있는지가 사실상의 리만 가설의 내용이다.

3.1 리만의 논문

리만 가설은 리만이 1859년 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse)' 라는 논문에서 처음 밝힌 가설이다. 이 논문에서 리만이 한 일은...

• 리만 제타 함수 (Riemann zeta function)를 복소수 [math]s[/math]의 실수부가 [math]1[/math]보다 클 때 다음처럼 정의하였다.

[math]\zeta\left(s\right)=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots[/math]

• 이 제타함수의 정의역을 [math]s=1[/math]을 제외한 복소수 범위로 확장하였다. 확장한 함수는 [math]s = -2, -4, -6, \ldots[/math] 에서 자명한 근(trivial zeros)을 갖고, 나머지 근들은 실수부가 [math]0[/math]부터 [math]1 [/math]사이인 범위에 분포해 있다. 이에 대한 해석적 확장은 아래문단에서 서술한다.
• 이 비자명 근들의 실수부는 모두 [math]1/2[/math]이라는 가설, 소위 리만 가설을 제시하였다. 리만은 '이것에 대한 증명은 별로 안 중요해 보임. 그러니까 증명생략.' 이라고 외치고는 바로 본론에 들어간다.
• 가장 중요한 부분인데, [math]\pi\left(x\right)[/math]를 나타내는 공식을 제시하였다. 그 공식은 제타함수의 비자명 근들에 대한 합으로 나타난다. 현대적인 언어로 이를 동치인 형태로 나타내면 다음과 같다.

[math]\psi\left(x\right) = x - \displaystyle \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln\left(2\pi\right) - \frac{1}{2}\ln\left(1-x^{-2}\right)[/math]

여기서 [math] \rho[/math]는 제타함수의 모든 비자명 근들이고, [math] \psi\left(x\right)[/math]는 체비셰프 함수 [math]\psi\left(x\right)= \displaystyle \sum_{p^k\leq x}\log\left(p\right)[/math]로 x가 증가함에 따라 대략 [math]x[/math]혹은 [math]\pi\left(x\right)\log\left(x\right)[/math]의 크기를 갖는다.

이 모든 내용 + α가 고작 8페이지 안에 담겨있다. 대부분의 중간과정과 계산과정은 생략되어 있고, 제타함수의 근을 비롯한 많은 내용이 거의 뜬금없이 제시된다. 하지만 이 논문은 당대수학자들은 물론이요, 현대의 정수론 연구자들에게도 절대 벗어날 수 없는 엄청난 영향을 끼치고 있다. 예를 들어, 제타함수의 복소수 변수는 항상 s로 통일되어 있는데, 이는 해석적 정수론에서는 반드시 리만의 논문의 표기를 따라야 하는 불문율이 있기 때문이다.

3.1.1 제타함수의 해석적 확장

리만은 그의 논문에서 제타함수를 다음과 같이 확장하였다.
[math]\zeta(s)=\displaystyle\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx[/math]

증명 : 감마함수를 다음과 같이 정의한다.

[math] \Gamma (z) =\displaystyle\int_{ 0 }^{ \infty }{ x^{ z - 1 } e^{ -x } dx} [/math]
우변=[math]\displaystyle\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{ 0 }^{ \infty }x^{s-1}\sum_{n=1}^{ \infty }e^{-nx}dx[/math]
[math]\displaystyle=\frac{1}{\Gamma (s)}\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }\int_{ 0 }^{ \infty }x^{s-1}e^{-nx}dx[/math]
[math]nx=t[/math]로 치환하면
[math]\displaystyle=\frac{1}{\Gamma (s)}\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{n}{(\frac{t}{n})}^{s-1}e^{-t}dt[/math]
[math]\displaystyle=\frac{1}{\Gamma (s)}\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{s}}\int_{ 0 }^{ \infty }t^{s-1}e^{-t}dt[/math]
[math]\displaystyle=\frac{1}{\Gamma (s)}\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{s}}\Gamma(s)[/math]
[math]\displaystyle= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{s}}[/math] (단, [math]Re(s)\gt1[/math])
실제로 이함수는 복소평면 전체에서 잘 정의되며 [math]s=1[/math]에서 pole 을 가진다. 또한 리만은 이 함수에 대한 functional equation을 발견하였는데, 이는 다음과 같다.
먼저 세타함수를 다음과 같이 정의한다.
[math]\displaystyle \theta(t) = \sum_{n=-\infty}^{ \infty }{ e^{ -\pi n^2 t }} [/math]
이때 제타함수의 [math]Re(s)\gt1[/math] 부분은 [math]\displaystyle \sum\frac{1}{n^s}[/math]와 같기 때문에 약간의 부분적분을 동원한 계산을 거치면
[math]Re(s)\gt1[/math]이면
[math]\displaystyle\pi^{-s/2} \Gamma (s/2) \zeta (s) = \frac{1}{2} \int_{ 0 }^{ \infty }{ u^{ (s/2) - 1 }[\theta (u) -1] du} [/math]
을 보일 수 있다.
우변의 식 전체를 [math]\xi(s)[/math]라 정의하면
[math]\displaystyle \zeta(s)=\pi^{s/2}\frac{\xi(s)}{\Gamma (s/2)}[/math]
가 바로 원하는 함수 방정식이다. (단 [math]Re(s)\gt1[/math])
또한 [math]Re(s)\gt0[/math]에서 [math]\displaystyle \zeta(s)-\frac{1}{s-1}[/math]은 해석적이라는 것을 쉽게 보일수 있으며,
크시함수의 성질
[math]\displaystyle \xi(s)=\xi(1-s)[/math] 에 의해 [math]Re(s)\leq0 [/math]까지도 확장 가능하다.

3.2 리만 이후

리만의 논문은 소수정리의 사실상의 접근방법을 제시하였다. 위의 공식을 보면 알겠지만 뭘?"리만-제타 함수의 모든 복소수 근의 실수부는 1보다 작다" 라는 사실만 증명해도 소수정리가 증명된다. 이 사실은 아다마르와 푸생에 의해 무려 37년이 지난 1896년에야 증명되었다. 비슷한 아이디어로 등차수열을 이루는 소수들에 대해서도 소수정리 비슷한 내용이 성립함이 1936년 지겔-왈피쯔 정리(Siegel-Walfisz theorem)로 증명되었다.

현대수학자들은 그 이후로도 소수의 규칙에 대한 수많은 부수적 성과들을 계속 찾아내고 있지만, 리만가설에 대한 실질적인 진전은 거의 나오지 않고 있다. '근의 실수부가 어떤 [math]\epsilon[/math]에 대해 [math]1-\epsilon[/math]보다도 작다'는 명제도 증명이 되지 않고 있을 정도이니. 대부분의 수학자들은 리만 가설을 증명하기 위해서는 듣도보도 못한 새로운 기법이 필요하다는 것에 동의하고 있다.

하지만 이 리만 가설을 뒷받침하는 수없이 많은 수치적 증거나 휴리스틱(heuristic) 등으로, 대부분의 수학자들이 리만 가설을 참이라 믿는 것도 사실이다. 현대수학자들은 리만 가설 자체에 더불어서 제타함수의 근들의 허수부가 '임의로' 분포한다는 가설도 믿고 있다. 이를 소수정리와 연관시켜서 이야기하자면, 리만 가설은 소수정리의 오차항 [math]\psi\left(x\right) - x[/math]이 대략 [math]x^{1/2}[/math] 의 크기라는 것과 동치인데, 사람들은 이에 더불어 이 오차항이 랜덤하게 진동한다고까지 생각하는 것이다.

4 이걸 풀면 어떻게 되는가

수학자들은 외계인을 만난다면 그들에게 이것이 증명가능한지 물어볼 것이라고 한다. 그리고 그 외계인도 여기에 낚여... 힐베르트는 죽은후 500년 뒤에 깨어난다면 가장 먼저 '리만 가설이 증명되었습니까?' 라고 물어보고 싶댄다.

만약 이것을 풀게 된다면 인류가 멸망할 때까지 수학 교과서, 특히 대수학이나 정수론 교과서에 그 이름을 싣게 될 것이다. 또한 이 문제에 100만 달러와 전 세계 수학자들의 이목이 달려 있으므로 만약 이 가설의 증명에 성공하거나 반례를 발견한다면 진심으로 억만장자가 되는것은 시간문제. 물론 이것에 매달려 다른 것을 하지 않다가 이것마저 못 풀 가능성이 훨씬 크지만.그래서 세상에서 100만 달러를 버는 가장 어려운 방법이라는 농담진담도 있다. 그래도 도전하고 싶다면, 그 전에 아래에 나오는 도전자들을 살펴보자. 물론 이 문제에 도전하는 것은 그 누구도 말리지 않는다. 그리고 헤어나오지 못한다

소수와 암호체계와의 연관을 통해서 RSA 등등의 암호체계의 안정성이 깨지느니 마느니에 대한 이야기가 있는데, 리만 가설이 증명되거나 반증된다고 해서 RSA의 안정성이 깨진다는 결과는 전혀 없다. 적어도 현재까지는. 이는 리만 가설이 흔히 '소수의 규칙을 찾는 문제'로 소개되는 까닭으로, 리만 가설이 특정한 규칙을 제공해줄 것이라는 순진한 오해에서 오는 것이다. 하지만 사실 리만 가설과 더불어 현대수학자들이 믿는 내용은 '소수의 규칙은 없다'는 것이다. 다만 리만 가설의 증명 또는 반증과정에서는 필연적으로 듣도보도 못한 수학적 이론이 나올 것이며, 이것이 무슨 파장을 가져올지는 아무도 모른다는 것은 부정할 수는 없다.

5 도전자들

리만 가설을 풀다가 골로 간 사람 중에 대표적인 인물이 존 내시. 본인 말로는 워낙 수와 논리에 집중하다 보니 그렇게 됐다고. 물론 이후에 정신분열증이 완화되었지만, 이 사람이 정신분열증으로 학계에서 아웃되고 난 다음부터 1996년 수학계에서 열린 컨퍼런스 직전까지는 리만 가설은 수학계에서 금기시되었다. 예전에는 "나 리만 가설 풀고있음."이라고 말하면 좀 안 좋은 시선으로 바라봤다고. 그러나 리만 제타 함수의 '자명하지 않은 근'들의 분포가 양자역학과 관계있음이 밝혀지는 등 리만 가설의 중요성이 재조명되었고, 리만 가설을 연구하는 인원도 많아졌다. 물리학계까지 팔을 뻗힌다는 소리이다... 캐시미어 효과

워낙 어렵다보니 수학자들 사이에선 '리만 가설을 풀면 영생을 얻게 된다'는 소문까지 난 적이 있다. 이는 절대 풀리지 않는다는 말과 수학자로서 그 기록이 영원히 남는다는 뜻을 모두 가지고 있다. 또한 리만 가설이 풀리지 않는 이유는 '문제 자체는 풀린 적이 있으나, 해답을 알게 된 순간 미쳐버리거나 갑자기 죽어버리기 때문에 알려지지 않는 것'이라는 소문도 있다. 이 문제에 대한 수학자들의 애증을 잘 보여준다. 하지만, 이게 또 신빙성(?)이 있는게, 원래는 리만 가설이 아닌 소수 가설을 풀면 영생을 얻게 된다 라는 소문이었으며, 실제로 소수 가설을 증명한 수학자들은 터무니 없이 오래 수학자로서 활동했기 때문이다.

유명한 수학자인 고드프리 해럴드 하디가 배를 타고 영국으로 돌아갈때 안전한 항해를 위해 '리만 가설을 증명했음'이란 쪽지를 보험삼아 남겼다는 일화가 있다. 자신이 죽는다면 가설을 증명했는데 안타깝게 죽었다고 사람들이 믿을 것이고 가설을 증명했다는 위대한 업적을 갖게 되겠지만, 신은 철저한 무신론자인 자신에게 그런 영광을 허락하지 않을려고 죽이지 않을 것이다... 라는 논리. 이때 하디는 "내가 죽으면 불쌍한 수학자들은 페르마의 대정리 외에 또 하나의 괴물에게 시달려야 하지 않느냐"며 페르마를 깠다. 페르마 때문에 자살하거나 정신이상을 일으킨 사람이 속출했으니 그럴 수밖에 없다. 하지만 실제로 하디가 소수에 관심을 가질수 있던 이유중 하나는 어린 시절 교회를 다니던중 교회의 찬송가를 소인수분해 하는 과정에서 소수에 흥미를 키울수 있었기 때문이다. 실제로 하디는 1/2를 실수부로 갖는 해가 무한하단 걸 증명한 바가 있다. 참고로 모든 해가 아니다. 이 증명은 비록 무한한 해의 실수부가 1/2 이라도, 나머지 유한하거나 무한히 많은 해의 실수부가 1/2 가 아닐 수 있다는 가능성을 남기고 있다.

5.1 왜 중요한가?

리만 제타 함수가 소수의 분포와 관련이 있다고 언급이 되었던 것을 기억할 것이다. 왜 그런지 간단하게 설명하자면, 리만 제타 함수를 소인수분해하여 묶어주면 [math]\zeta\left(s\right)=\displaystyle \prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}[/math]로 볼 수 있다는 것을 참고하자.
해석적 정수론에서 어떤 성질을 만족하는 소수들의 분포를 생각할 때 가장 기초적으로 사용하는 방식은 이런식으로 그 집합의 소수들 전체에 대해서 [math]1/\left(1-cp^{-s}\right)[/math]같은 항들을 다 곱해준 함수를 생각하고, 그 함수가 발산하는 지점 근처에서의 함수의 크기 변화를 연구하게 되면 역으로 우리가 원래 원한 소수의 분포에 대한 계산 식이 나온다. 무한 곱 자체는 실수부가 어느 정도 이상 커야 말이 되지만, 복소함수론에서 복소 함수를 해석적으로 연장하는 방법은 많아야 한 가지이기 때문에 복소수 전체 위에서 몇 몇 발산 지점을 제외한 곳에서 해석적인 함수로 연장시킬 수 있다. (리만 함수 자체도 발산 지점이 있다. 예를 들어 1!)

이 함수들을 가지고 여러 연산을 하면서 발산 지점 근처에서 대충 어느 정도 속도로 발산하는가...에 대한 연구를 하고싶은데, 문제는 우리가 리만 제타 함수 같은 가장 기초적인 경우에 조차 0이 어디있는 지도 정확히 모르기 때문에 나누기를 할 수가 없다는 것이다. 단순히 0이 어디 있는지에 대한 문제가 아니라, 이런 복소 함수의 연장에 관한 문제는 어디까지 실수부가 연장될 수 있는가가 곧 분포의 계산의 정확도를 가르기 때문에, 실수부가 [math]1/2[/math] 더 연장될 수 있는가 아닌가, 등의 문제가 굉장히 기초적이고, 만약 일정 수준 이상의 성과를 내게 된다면 해석적으로 분포를 계산하는 데 큰 도움이 될 것이다. 위에서 언급되었듯 0이 존재할 수 있는 실수부 구간을 [math]\left[0,1\right][/math]에서 아주 조금만 줄인 [math]\left[\varepsilon,1-\varepsilon\right][/math]로 만드는 문제조차 전혀 풀리지 않은 이유가 바로 이것이다. 만약 조금이나마 실수부 구간을 제한시킬 수 있다면 분포에 대한 계산 정확도가 엄청나게 높아질 것이기 때문이다.

6 대중문화에서의 리만 가설

미국 드라마 numb3rs에서 "리만 가설을 풀었다."고 말하던 (실제로는 오류가 있었다) 수학자가 암호 해독을 노리는 악당들에게 딸이 납치되는 에피소드가 나오기도 했다.

<Q.E.D. 증명종료>의 주인공 토마 소의 전공이 이 리만 가설과 관련된 것이며 작중 여기에 한 번 홀려서 모든 걸 팽개칠 뻔했으나 미즈하라 가나 덕분에 다시 일상으로 돌아올 수 있었다.

히가시노 게이고의 용의자 X의 헌신에서는 유카와 마나부가 자신의 동창인 이시가미를 만나러 올 때 리만 가설을 증명하는 논문을 가져와 대학 때 '달마'라는 별명을 가졌던 이시가미를 시험해본다. 이시가미는 논문을 받고 거의 5~6시간 만에 그 논문의 오류를 찾아내고, 유카와는 이를 보고 '달마는 건재하다'며 만족하고 돌아간다. 유카와가 들은 바로는 상당히 잘나가는 수학자도 그 논문의 오류를 찾아내려면 고생 꽤나 할거라고 한다.

영국 작가 매트 헤이그의 SF 소설 <휴먼 - 어느 외계인의 기록>에서 작중 저명한 수학자 앤드루 마틴이 리만 가설을 증명하게 된다. 그러나 지구를 관찰하던 우주적 존재 '호스트'는 인간이 도달해서는 안 되는 지식의 영역에 도달했다고 판단하여 앤드루 교수를 납치하고는, 외계인 중 하나를 앤드루 교수의 모습으로 바꿔치기하여 지구로 보낸다. 이 외계인의 임무는 교수가 리만 가설을 증명했다는 사실을 알고 있는 지구인들을 죽이는 것. 이는 소설의 도입부에 해당한다.

7 리만의 비화

상술했다시피 위 리만의 논문은 겨우 10페이지에 현대 정수론의 정수를 담아내었다. 대부분의 중간과정과 계산과정이 생략된 이 논문은 당연히 매우 어려웠지만, 그 파장은 엄청났다. 또한 이와 더불어 리만은 실제로 제타함수의 첫 4개의 근을 정말 뜬금없이 제시하였다. 그래서 이 논문이 나온 후, 주위 수학자들은 리만을 엄청나게 직관적인 수학자라고 취급했고, 그를 칭찬하기 시작했다.

그러나 그건 모두 오해였는데, 나중에 리만이 죽은 후 그의 집에서 불태워 지기 직전의 자료중 하나에서 발견된 것으로 보아 리만은 엄청난 노력쟁이였다. 논문에 써져있던 모든 근의 계산을 진짜로 빠짐없이 해낸 것이 발견된 것. 결과적으로 논문의 무심한듯 시크함에 매료된 수학자들의 칭찬을 받았지만

사실 리만이 계산 과정을 모두 생략해버린 건 스승인 가우스의 영향이 크다. 어떠한 의미있는 결론에 도달하면 그에 필요했던 사소한 과정은 생략하도록 가르침을 받았다. 가우스는 심지어 복소평면을 이용한 복소수의 표현과 계산법을 만들어냈음에도, 복소평면이라는 개념을 대중에 내놓지 않았다. 당시 득세하던 프랑스 수학에는 <수학은 수식과 방정식으로만 표시되어야 한다>는 생각이 있었고, 가우스도 이를 의식한 것으로 여겨진다.

흥미로운 사실은, 이 리만의 10쪽짜리 논문의 한 구절에서 대부분의 영점들이 특이선 위에 있다는 사실을 스스로 증명할 수 있으리라 믿었다고 썼다는 점이다. 하지만 완벽주의 때문인지 아직 출판할 정도에는 이르지 못했다는 글귀만 남겼다. 왠지 페르마가 떠오르지?

하나 알아두어야 할 사실은 그때는 컴퓨터도 없었을 뿐더러 계산을 약간이라도 쉽게하는 오일러의 업적이 제대로 사용되지 않았을 때라는거다. 컴퓨터가 생기기 이전까지만 해도 이 방법을 통해서 계산한 것으로 보면 이 방법이 컴퓨터가 없는 한 최선인데, 이 방법조차 없던 때에서 10개정도의 근을 내보인 것. 알만한 사람은 알겠지만, 근 자체가 '복소수'인데다가 그걸 감마함수(계승함수)에도 넣고, 삼각함수에도 넣고 쌩쇼를 다 한 다음에 곱해야지 제타함수의 값을 알수있다. 그러니까 리만은 직접 하나하나 다 대입해서 10개 정도의 근을 찾은 것이다.

그러니까 고등학교 수준으로 설명하자면 한 807546845차(...) 정도의 방정식이 있는데, 이 함수의 모든 근을 '사이값 정리' 만으로 구하라는 느낌?

8 기타

리만 가설은 '소수의 규칙성을 찾는 문제예요'하고 일반인들에게 그나마 쉽게 어떤 문제인지 설명할 수 있기 때문에 다른 밀레니엄 문제보다 작품 상에서 쉽게 접할 수 있다. 다른 문제는 도대체 어떤 문젠지 설명하는 것 조차 거의 불가능하니.

참고로 리만 가설은 다른 밀레니엄 문제보다 훨씬 이른 시기부터 주목을 받아 왔던 문제이다. 정확히 1900년에 독일의 힐베르트라는 수학자가 제정한 23개의 힐베르트의 문제들에도 포함되어 있었다. 그리고 100년 뒤로 이월된 유일한 문제다.