그람-슈미트 과정

1 개요

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은

$$\mathbb{R}$$ , $$\mathbb{C}$$ 을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 유한차원 내적 공간의 기저로부터, (벡터 공간은 항상 기저를 가지므로) 정규직교 기저를 항상 갖는다.

2 구체적인 과정

유한차원 내적 공간

$$\left(V,\left(\cdot\mid\cdot\right)\right)$$ 의 기저 $$\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$$ 를 생각하자.

1. $$u_{i}:=v_{i}-{\displaystyle \sum_{j\lti}}\frac{\left(v_{i}\mid u_{j}\right)}{\left(u_{j}\mid u_{j}\right)}u_{j}$$
2. $$w_{i}:=\frac{1}{\left(u_{i}\mid u_{i}\right)}u_{i}$$

여기서,

$$\left\{u_{1},\ldots,u_{k}\right\}$$ 가 직교(orthogonal) 기저라는 것은, 귀납적으로 보일 수 있다. $$w_{j}$$ 의 크기는 $$1$$ 이므로, $$\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}$$ 는 정규직교 기저이다.

3 응용

• 임의의 $$A\in \text{GL}_{n}\left(C\right)$$ 에 대해, $$U\in \text{U}\left(n\right)$$ 가 존재하여, $$AU^{-1}$$ 은 하삼각행렬(lower triangular matrix)이다.
  $$A=\left(v_{1}\ldots v_{n}\right)\in \text{GL}_{n}\left(C\right)$$ 의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터 $$w_{i}$$ 를 이용하여, $$U=\left(w_{1}\ldots w_{n}\right)$$ 라 하자. 그러면 첫번째에 의해, $$AU^{-1}$$ 는 하삼각행렬임을 알 수 있다.