그람-슈미트 과정

1 개요

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 [math]\mathbb{R}[/math], [math]\mathbb{C}[/math]을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 유한차원 내적 공간의 기저로부터, (벡터 공간은 항상 기저를 가지므로) 정규직교 기저를 항상 갖는다.

2 구체적인 과정

유한차원 내적 공간[math]\left(V,\left(\cdot\mid\cdot\right)\right)[/math]의 기저 [math]\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}[/math]를 생각하자.

1. [math]u_{i}:=v_{i}-{\displaystyle \sum_{j\lti}}\frac{\left(v_{i}\mid u_{j}\right)}{\left(u_{j}\mid u_{j}\right)}u_{j}[/math]
2. [math]w_{i}:=\frac{1}{\left(u_{i}\mid u_{i}\right)}u_{i}[/math]

여기서, [math]\left\{u_{1},\ldots,u_{k}\right\}[/math]가 직교(orthogonal) 기저라는 것은, 귀납적으로 보일 수 있다. [math]w_{j}[/math]의 크기는 [math]1[/math]이므로, [math]\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}[/math]는 정규직교 기저이다.

3 응용

• 임의의 [math]A\in \text{GL}_{n}\left(C\right)[/math]에 대해, [math]U\in \text{U}\left(n\right)[/math]가 존재하여, [math]AU^{-1}[/math]은 하삼각행렬(lower triangular matrix)이다.
  [math]A=\left(v_{1}\ldots v_{n}\right)\in \text{GL}_{n}\left(C\right)[/math]의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터[math]w_{i}[/math]를 이용하여, [math]U=\left(w_{1}\ldots w_{n}\right)[/math]라 하자. 그러면 첫번째에 의해, [math]AU^{-1}[/math]는 하삼각행렬임을 알 수 있다.