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조르당 분해(Jordan decomposition)은 상사인 행렬들을 완벽하게 분류해준다. 즉, 모든 행렬은 조르당 분해를 가지며, 두 행렬이 서로 상사일 필요충분 조건이 둘의 조르당 분해가 같은 것이다. 단 조건이 있는데, 스칼라 체 [math]F[/math]가 대수적으로 닫혀 있어야한다. 즉, [math]F=\mathbb{C}[/math]에서는 조르당 분해를 항상 찾을 수 있으나, [math]F=R[/math]에서는 찾을 수 없을 수도 있다.
조르당 분해는 primary decomposition과 cyclic decomposition을 동시에 사용하여 얻는다. 벡터 공간 [math]V[/math]의 선형 변환 [math]T[/math]를 생각하자.
1 primary decomposition
[math]T[/math]의 최소 다항식, [math]p[/math]와 그것의 소인수분해 [math]p=\prod p_{i}^{r_{i}}[/math]를 생각하자. [math]W_{i}:=\ker p_{i}^{r_{i}}\left(T\right)[/math]라 하면, 다음이 성립한다.
* [math]V={\displaystyle \bigoplus_{i}}W_{i}[/math]
- [math]\left.T\right|_{W_{i}}[/math]의 최소 다항식은 [math]p_{i}^{r_{i}}[/math]이다.
이 중 첫 번째, 것을 primary decomposition이라 한다.
2 cyclic decomposition
우선, [math]F[/math]-벡터 공간 [math]V[/math]를 [math]F\left[x\right][/math]-가군으로 이해하는 것에서 시작한다. PID [math]F\left[x\right][/math]가 [math]V[/math]에 [math]f\cdot v:=f\left(T\right)v[/math]로 작용한다고 하자. 이것에 의해 [math]V[/math]는 [math]F\left[x\right][/math]-가군이다. [math]F\left[x\right][/math]가 PID이므로, PID 위의 유한생성 가군의 기본정리에 의해, [math]V\cong_{F\left[x\right]}\left(F\left[x\right]\right)^{r}\bigoplus{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)[/math]([math]a_{i}\mid a_{i+1}[/math])이다. 여기서 [math]T[/math]의 최소 다항식 [math]p[/math]에 의해, 임의의 [math]v\in V[/math]는, [math]p\cdot v=0[/math]이므로, [math]r=0[/math]이다. 즉, [math]V\cong_{F\left[x\right]}{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)[/math]이다.
이제 [math]{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)[/math]을 살펴보자.
[math]F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)[/math]은 [math]B=\left\{ \overline{x}^{i}:0\leq i\ltn\right\}[/math]을 기저로 갖고 여기서, [math]x[/math]는 [math]x\cdot \overline{x}^{i}=\overline{x}^{i+1}[/math]([math]i\ltn-1[/math]), [math]x\cdot \overline{x}^{n-1}=-{\displaystyle \sum_{j\ltn}}b_{j}\overline{x}^{j}[/math]로 작용한다.[1] 따라서, [math]F[/math]-벡터 공간 [math]F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)[/math]의 선형변환 [math]x[/math]는 기저 [math]B[/math]에 대해, [math]\left[x\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & & & & & -b_{0}\\1 & 0 & & & & -b_{1}\\ & 1 & 0 & & & -b_{2}\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0 & -b_{n-2}\\ & & & & 1 & -b_{n-1}\end{array}\right)[/math]이다. 이를, [math]x^{n}+{\displaystyle \sum_{i\ltn}}b_{i}x^{i}[/math]의 동반행렬(companion matrix)이라 한다. 이것을, [math]C_{a_{i}}[/math]라 하자.
이에 의해, [math]\left[T\right]_{B_{0}}=\left(\begin{array}{ccc}C_{a_{1}}\\ & \ddots\\ & & C_{a_{n}}\end{array}\right)[/math]로 표현된다. 이를 cyclic decomposition, rational form이라 한다.
3 조르당 분해(Jordan decompostion)
[math]T[/math]의 최소 다항식, [math]p[/math]와 그것의 소인수분해 [math]p=\prod p_{i}^{r_{i}}[/math]를 생각하자. 조르당 분해는, [math]p_{i}=x-c_{i}[/math]를 가정한다. 즉, 대수적 폐체에서는 항상 조르당 분해를 찾을 수 있지만, 그렇지 않으면 존재하지 않을 수도 있다.
[math]W_{i}:=\ker p_{i}^{r_{i}}\left(T\right)[/math]라 하자. primary decomposition의 두 번째 명제에서 [math]N=\left.T\right|_{W_{i}}-c_{i}I[/math]의 최소 다항식은, [math]x^{n_{i}}[/math]이다. 이것의 cyclic decompostion을 생각하면, [math]\left[N\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & & & & & 0\\1 & 0 & & & & 0\\ & 1 & 0 & & & 0\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0\\ & & & & 1 & 0\end{array}\right)[/math]이다. [math]\left.T\right|_{W_{i}}=T+c_{i}I[/math]에 의해, [math]\left[\left.T\right|_{W_{i}}\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}c_{i} & & & & & 0\\1 & c_{i} & & & & 0\\ & 1 & c_{i} & & & 0\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & c_{i}\\ & & & & 1 & c_{i}\end{array}\right)[/math]이다. 이를 조르당 블록이라 하고, [math]J_{n}\left(c\right)[/math]으로 표현한다.[2] cyclic decomposition을 적용하면, [math]\left[T\right]_{B}={\displaystyle \bigoplus_{i}}\left({\displaystyle \bigoplus_{n_{j}\leq n_{j+1}}}J_{n_{j}}\left(c_{i}\right)\right)[/math]이다. 이것을 조르당 형식(Jordan form)이라 한다. 서로 상사인 두 행렬은 (직합의 순서를 무시하면) 서로 같은 조르당 형식을 갖고, 그 역도 성립한다.