대각화

1 개요

행렬 [math]A\in M_{n}\left(F\right)[/math]를 행렬 대각화(diagonalization)한다고 함은, 적절한 [math]P\in\text{GL}_{n}\left(F\right)[/math]와 대각행렬 [math]D\in M_{n}\left(F\right)[/math]를 찾아, [math]A=PDP^{-1}[/math]로 표현하는 일이다. 이렇게 하면, [math]A^{k}=PD^{k}P^{-1}[/math]이고, [math]D^{k}[/math]을 계산하는 것은 아주 쉬우므로, [math]A^{k}[/math] 계산도 아주 쉬워진다. 수학적으로는, 벡터 공간을 분해한다는 점에서 의미가 있다.

2 대각화 가능할 필요충분 조건

대각화가 항상 가능한 것은 아니므로, 대각화 가능한 필요충분 조건을 알아야한다.

대각화 가능할 필요충분 조건

[math]A[/math]의 최소 다항식을 [math]p\in F\left[x\right][/math]라 하자.
[math]A[/math]가 대각화 가능할 필요충분조건은, 서로 다른 [math]\lambda_{i}\in F[/math]가 존재하여 [math]p=\prod\left(x-\lambda_{i}\right)[/math]인 것이다.

• [math]\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ 0 \quad 0\end{array}\right)[/math]의 최소 다항식은 [math]x^{2}[/math]이다. 따라서, 대각화할 수 없다.
• [math]\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ -1 \quad 0\end{array}\right)[/math]의 최소 다항식은 [math]x^{2}+1[/math]이다. 따라서, 복소수 체 [math]C[/math] 위에서는 대각화 가능하지만, 실수 체 [math]R[/math]위에서는 대각화 불가능이다.

3 동시적 대각화(simultaneously diagonalization)

대각화 가능한 행렬들의 모임 [math]S\subset M_{n}\left(F\right)[/math]을 생각하자. [math]A,B\in S[/math]는 대각화 가능이기 때문에, 적절한 [math]P_{A},P_{B}\in\text{GL}_{n}\left(F\right)[/math]와 대각행렬 [math]D_{A},D_{B}\in M_{n}\left(F\right)[/math]를 찾아, [math]A=P_{A}D_{A}P_{A}^{-1}[/math], [math]B=P_{B}D_{B}P_{B}^{-1}[/math]로 표현할 수 있다. 그러나, [math]P_{A}\neq P_{B}[/math]일 수 있다. 그럼 [math]P\in\text{GL}_{n}\left(F\right)[/math]가 존재하여, 임의의 [math]A\in S[/math]에 대해, [math]A=PDP^{-1}[/math]일 수 있는지 알고 싶다. 이를 동시적 대각화(simultaneously diagonalization)라 한다.

동시적 대각화가 가능할 필요충분 조건은 다음이다.

* 임의의 [math]A,B\in S[/math]에 대해, [math]AB=BA[/math]이다.

4 관련 항목과의 관계

언급한 것과 같이, 항상 대각화 가능한 것은 아니며 꼭 대각화가 되어야 계산이 편해지는 것도 아니다. 대각화를 못하더라도 충분히 간단하게 행렬을 재구성할 수 있다. 이 목적을 완벽하게 달성한 결과가 조르당 분해이다.