상사(행렬)

1 정의

체

$$F$$ 에 대해, $$n$$ 차 정사각행렬 $$A$$ , $$B$$ 가 상사(similar)라 함은 $$P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$$ 가 존재하여, $$A=PBP^{-1}$$ 인 것이다. 이 경우, $$A\sim B$$ 라 표현한다.

2 의미

$$P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)$$ 는 $$F^{n}$$ 의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데, 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, $$A$$ , $$B$$ 가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

3 활용

3.1 거듭제곱

만약, 대각행렬

$$D$$ 이 존재하여, $$A=PDP^{-1}$$ 라 하자. 그러면, $$A^{k}=P^{-1}D^{k}P$$ 이고, $$D^{k}$$ 를 계산하는 것은, $$A^{k}$$ 를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다. 그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한" $$B$$ 에 대해, $$A=PBP^{-1}$$ 가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

3.2 선형 변환의 분해

선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다. 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.

4 같이 보기

• 대각화
• 조르당 분해
• cyclic decomposition
• primary decomposition