상사(행렬)

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1 정의

체 [math]F[/math]에 대해, [math]n[/math]차 정사각행렬 [math]A[/math], [math]B[/math]가 상사(similar)라 함은 [math]P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)[/math]가 존재하여, [math]A=PBP^{-1}[/math]인 것이다. 이 경우, [math]A\sim B[/math]라 표현한다.

2 의미

[math]P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)[/math]는 [math]F^{n}[/math]의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[1] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, [math]A[/math], [math]B[/math]가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

3 활용

3.1 거듭제곱

만약, 대각행렬[2] [math]D[/math]이 존재하여, [math]A=PDP^{-1}[/math]라 하자. 그러면, [math] A^{k}=P^{-1}D^{k}P[/math]이고, [math]D^{k}[/math]를 계산하는 것은, [math]A^{k}[/math]를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다. 그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[3] [math]B[/math]에 대해, [math]A=PBP^{-1}[/math]가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

3.2 선형 변환의 분해

선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[4] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.

4 같이 보기

  1. ↑ 예를 들어, [math]R^{3}[/math]에서 표준 기저를 기준으로 (1, 2, 3)으로 표현되는 벡터는 기저 [math]{(1,2,3), (4,5,6), (7,8,0)}[/math]에서는 (1, 0, 0)이라는 다른 좌표로 표현된다.
  2. ↑ 주대각선 밖의 원소가 모두 [math]0[/math]인 행렬
  3. ↑ [math]B=\bigoplus B_{i}[/math]로 표현된다면, [math]B^{k}=\bigoplus B_{i}^{k}[/math]이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, [math]D=\bigoplus d_{i}[/math]이다.
  4. ↑ [math]V=\bigoplus W_{i}[/math]라면, 선형 변환 [math]T[/math]는 [math]T=\bigoplus \left.T\right|_{W_{i}}[/math]으로 표현될 것이다.