행렬식

행렬식(determinant)
정사각행렬에 대해 정의되는 값으로, 행렬의 가역성을 판별해준다.

1 역사

역사적으로 본다면 행렬은 연립 일차 방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까라고 고민한데서 시작했다. 아서 케일리가 연구하던 중에 [math] ad - bc [/math] 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 다르게 나오는 것을 보고 얘네가 해의 존재 여부(궁극적으로는 행렬의 가역 여부)를 판별한다는 관점에서 determinant라고 부른 데서 행렬식이 탄생했고, 윌리엄 로원 해밀턴이 '야, 그러면 연립 방정식의 계수랑 변수를 따로 떼어내서 쓰면 어떨까?'라는 생각에서 행렬이 탄생했다. 즉 교육과정에서 배우는 것과는 달리, 역사적으로 보면 행렬식이 행렬보다 먼저 탄생했다.

2 표기법

행렬식의 표기법으로는, determinant의 약자인 [math]\text{det}[/math]와 [math]\left| \cdot \right|[/math]을 쓰는 방법이 있다.

• [math]\text{det}\left(\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right)=-2[/math]
• [math]\left|\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right|=-2[/math]
• [math]\left|\left(\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right)\right|=-2[/math]
• [math]\left|A\right|=-2[/math]

등등

3 정의

우선, 열벡터 각각을 하나의 인수로 보자. 그러면 다음과 같이 생각할 수 있다.

• [math]n=2[/math]이면,
  [math]\text{det}:\left(F^{2}\right)^{2}\rightarrow F[/math]

이 관점에서 행렬식은 다중선형(multi-linear), 교대(alternating) 범함수(functional)이다.
풀어쓰면 다음과 같다.

* 다중 선형성
각각의 [math]i[/math]와 임의의 [math]a\in F[/math], [math]u\in F^{n}[/math]에 대해
[math]\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},av_{i}+u,\ldots v_{n}\right)=a\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i},\ldots v_{n}\right)+\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},u,\ldots v_{n}\right)[/math]

• 교대성
  [math]\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i}\ldots,v_{j-1},v_{j},\ldots v_{n}\right)=-\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{j}\ldots,v_{j-1},v_{i},\ldots v_{n}\right)[/math]
• 단위 행렬의 값
  [math]\text{det}I=\text{det}\left(e_{j}\right)=1[/math]

이 정의를 처음 본 사람은, 뭐 이리 복잡하게 정의를 했나 싶을 것이다. 개론을 들었다면, 계산법만 배웠기에 무의미하게 느껴지기도 할 것이고. 어떤 위키러는, 위의 다중 선형성과 교대성을 행렬식의 성질이라 배웠는데, 왜 정의로 가져다 쓰나 싶을 것이다. 그러나 다중 선형성과 교대성은 선형대수에서 아주 흔히 보이는 성질이라는 것을 생각하면 그렇지 않다. 그리고 지저분한 계산으로 정의하는 것보다는 (더 어렵긴 하지만) 자주 등장하는 성질로 정의하는 것이 본질에 더 가깝다는 것을 기억하여라. 계산에 의한 정의보다 다른 성질들을 증명하기 훨씬 편하다.

4 성질

• [math]\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|[/math]
• [math]A[/math]가 가역일 필요충분 조건은, [math]\left|A\right|\neq 0[/math]이다.
• [math]\left|kA\right|=k^{n}\left|A\right|[/math]
• [math]\left|A\right|= 0[/math]이면, [math]0\neq v\in F^{n}[/math]가 존재하여 [math]Av=0[/math]이다.

5 선형변환에서의 행렬식

유한 차원 벡터 공간 [math]V[/math]에서 [math]V[/math]로 가는 선형변환 [math]T[/math]의 행렬식을 정의할 수 있다. [math]V[/math]의 기저 [math]B_{1}[/math], [math]B_{2}[/math]를 생각하자. 만약, 두 행렬의 행렬식 [math]\left|\left[T\right]_{B_{1}}\right|=\left|\left[T\right]_{B_{2}}\right|[/math]이 같다면, 이것을 선형변환의 행렬식으로 삼을 수 있을 것이다. 이것은 실제로 성립한다. 따라서 이를 선형변환의 행렬식으로 삼는다. 즉, 이 [math]\left|\left[T\right]_{B}\right|[/math]는, 기저의 선택과는 무관한 선형변환의 고유한 성질이다.

6 계산법

정의를 보고 기겁했을 비수학과 및 고교생들은 보아라.
[math]\left|(a_{ij})_{n\times n}\right|={\displaystyle \sum_{\sigma\in S_{n}}}\text{sgn}\left(\sigma\right){\displaystyle \prod_{i}}a_{i\sigma\left(i\right)}[/math]

실제로 이 식이 상술한 다중 선형성과 교대성, 그리고 단위행렬(I)에서의 값이 1임을 보일 수 있다. 또한 저 세 성질을 만족하는 식은 위 식 하나뿐이다.