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행렬식(determinant)
정사각행렬에 대해 정의되는 값으로, 행렬의 가역성을 판별해준다.
1 역사
역사적으로 본다면 행렬은 연립 일차 방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까라고 고민한데서 시작했다. 아서 케일리가 연구하던 중에 ad−bc
2 표기법
행렬식의 표기법으로는, determinant의 약자인 det
- det(1234)=−2
- |1234|=−2
- |(1234)|=−2
- |A|=−2
등등
3 정의
우선, 열벡터 각각을 하나의 인수로 보자. 그러면 다음과 같이 생각할 수 있다.
- n=2이면,
det:(F2)2→F
이 관점에서 행렬식은 다중선형(multi-linear), 교대(alternating) 범함수(functional)[1]이다.
풀어쓰면 다음과 같다.
* 다중 선형성[2]
각각의 i와 임의의 a∈F, u∈Fn에 대해
det(v1,…,vi−1,avi+u,…vn)=adet(v1,…,vi−1,vi,…vn)+det(v1,…,vi−1,u,…vn)[3]
이 정의를 처음 본 사람은, 뭐 이리 복잡하게 정의를 했나 싶을 것이다. 개론을 들었다면, 계산법만 배웠기에 무의미하게 느껴지기도 할 것이고. 어떤 위키러는, 위의 다중 선형성과 교대성을 행렬식의 성질이라 배웠는데, 왜 정의로 가져다 쓰나 싶을 것이다. 그러나 다중 선형성과 교대성은 선형대수에서 아주 흔히 보이는 성질이라는 것을 생각하면 그렇지 않다. 그리고 지저분한 계산으로 정의하는 것보다는 (더 어렵긴 하지만) 자주 등장하는 성질로 정의하는 것이 본질에 더 가깝다는 것을 기억하여라. 계산에 의한 정의보다 다른 성질들을 증명하기 훨씬 편하다.
4 성질
- |AB|=|A||B|
- A가 가역일 필요충분 조건은, |A|≠0이다.
- |kA|=kn|A|[6]
- |A|=0이면, 0≠v∈Fn가 존재하여 Av=0이다.
5 선형변환에서의 행렬식
유한 차원 벡터 공간 V
6 계산법
정의를 보고 기겁했을 비수학과 및 고교생들은 보아라.
|(aij)n×n|=∑σ∈Snsgn(σ)∏iaiσ(i)