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1 정의
선형 변환(Linear Transform)는 벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수로, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. 아니면 카테고리 이론을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다. 일차변환(First Order Transform)이라고도 부르기도 한다. 스칼라가 [math]F[/math]로 같은 벡터 공간[math]V[/math], [math]W[/math]에 대해, 흔히 [math]V[/math]에서 [math]W[/math]로 가는 선형 변환들의 모임을 [math]L\left(V,W\right)[/math]라 표시한다. 달리 선형사상(Linear Map)이라고 한다.
[math]f:V\rightarrow W[/math]가 선형 변환이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
* (선형성(linearity)) 임의의 [math]a\in F[/math], [math]u,v\in V[/math]에 대해, [math]f\left(au+v\right)=af\left(u\right)+f\left(v\right)[/math]
[math]\\mathbb{R}[/math]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자.
- [math]V=W=\mathbb{R}^{2}[/math]에 대해, [math]f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right)[/math]는 선형 변환이다.
- [math]V=W=\mathbb{R}^{2}[/math]에 대해, [math]f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right)[/math]는 선형 변환이다.
- [math]V=W=\mathbb{R}^{2}[/math]에 대해, [math]f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right)[/math]는 선형 변환이 아니다.
- [math]V=W=\mathbb{R}^{2}[/math]에 대해, [math]f\left(x,y\right)=\left(0,0\right)[/math]는 선형 변환이다.
- [math]V=W=\mathbb{R}^{2}[/math]에 대해, [math]f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right)[/math]는 선형 변환이 아니다.
- [math]V[/math]를 [math]\left[0,1\right][/math]에서 [math]\mathbb{R}[/math]로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, [math]\mathbb{R}[/math]-벡터 공간이다. [math]\phi:V\rightarrow \gt\mathbb{R}[/math]을 [math]\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f[/math]라 하면 [math]\phi[/math]는 선형 변환이다.
- [math]V[/math]를 [math]n[/math]차 정사각 행렬의 모임이라 하면, [math]\mathbb{R}[/math]-벡터 공간이다. 주 대각합 [math]\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R}[/math]은 선형 변환이다.
- [math]V=W=\mathbb{C}[/math], [math]T\left(z\right):=\overline{z}[/math]라 정의하자. [math]\mathbb{R}[/math], [math]\mathbb{C}[/math]위에서, [math]V[/math], [math]W[/math]는 벡터 공간이다.[1]
- [math]\mathbb{R}[/math]위에서, [math]T[/math]는 선형 변환이다.
- [math]\mathbb{C}[/math]위에서, [math]T[/math]는 선형 변환이 아니다. [math]iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right)[/math]이기 때문이다.
2 핵(kernel)과 상(image)
벡터 공간[math]V[/math], [math]W[/math]와 [math]f\in L\left(V,W\right)[/math]에 대해[2]
* (핵(kernel)[3]) [math]\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\}[/math]
- (핵 공간의 차원(nullity)) [math]\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f[/math]
- (상(image)[4]) [math]\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\}[/math]
- (계수(차수; rank)) [math]\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f[/math]
라 정의한다. 다음이 성립한다.
- nullity-rank theorem[5]
[math]\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right)[/math]
3 행렬과의 관계
유한차원 벡터공간에서 유한차원 벡터공간으로 가는 선형 연산자는 행렬과 1-1 대응을 이룬다.[6] 따라서, 유한차원 벡터공간 사이의 선형 연산을 연구하고 싶다면, 행렬을 보는 것으로 충분하다. 이것이, 행렬에 대해 정의되는 행렬식, 주대각합 등을, 선형변환에 대해서도 정의할 수 있는 이유이다.
여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기전 기하와 벡터 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 행렬 부분과 미적분 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 엡실론 - 델타 논법 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 강요받고 있다고 할 수 있다.