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1 개요
十進法, decimal system
현대의 거의 모든 인간들이 기본적인 일상생활을 하면서 사용하는 진법이다. 사람이 컴퓨터를 쓰긴 하지만 사람이 2진법을 계산하는건 아니잖아 하지만 컴공과라면 16진법을 쓸 가능성이 높지 사실 모든 진법이 전부 10진법이다[1]세상엔 수많은 가지각색의 언어가 존재함에도 불구하고 10진법은 고대 이집트때부터 거의 전세계 수준으로 통일되어 있다. 10개의 숫자를 가지고 수를 표현하는 방법이며, 열배마다 자릿수가 하나씩 올라간다.
2 십진법에 대한 평가
10은 약수가 1, 2, 5, 10에 불과하기에 단위로 쓰기엔 불편한 점도 있다.[2] 이런 부분에 있어서 10진법보다 60진법[3] 12진법이 실생활에 유리하며, 실제로 상당수의 단위들이 12진법을 사용한다. 시간이나, 다스, 야드파운드법의 피트-인치가 12진법 활용의 대표적 사례. 16진법도 12진법만큼은 아니지만 10진법에 비해서는 편리하다. 바빌로니아의 수메르인이 괜히 60진법을 고집한게 아니었다!!
이렇게 편리한 숫자들이 있음에도 불구하고 10진법이 세계적으로 정착된 이유는 인간의 양 손의 손가락이 10개, 더 정확하게는 인간이 몇 개의 손가락이 펴지고 접혔는지 세어왔기 때문이다. 인간이 손가락으로 최대한 펴거나 접을 수 있는 수가 10이므로 자연스럽게 상당수의 단위가 10을 묶음으로 형성되었다. 만약 인간의 사고 구조가 동일하다는 가정 하에 손가락이 n개였다면 자연스럽게 n진법이 정착되었을 것이다. 만약에 발가락까지 숫자를 센다면 우리는 20진법을 사용했겠지[4] 우리가 프로토스였다면 8진법이었을테고[5]
만약 인류가 몇 번째 손가락이 펴지고 접혔는지에 촛점을 두어왔다면 인류는 어쩌면 2진법, 혹은 그것에서 파생하는 진법을 썼을지도 모른다. 손가락마다 자릿수를 매겨서 접고 펴는걸로 1,0을 구별하면 양손으로 0~1023 또는 1~1024까지 셀 수 있다. 4, 128, 132는 함부로 하면 곤란하다.[6] 새끼손가락을 독립적으로 못 굽히는 사람을 감안해도 255까지 셀 수 있으며, 이는 16진수 FF에 해당한다.
현재 대부분의 단위가 10진법으로 통일되었기 때문에 다른 진법이 불편한 것은 어쩔 수 없다. 표기보다 작은 하드디스크 그러나 다시 말하자면 10진법이 습관이 돼서 그런것으로, 12진법과 60진법으로 표현되는 시간을 10진법으로 환산하다 혼란이 오는 것과 마찬가지이다.[7]
2014년 현재는 컴퓨터의 발달로 10진법이나 12진법이나 기계상으론 어차피 2진법으로 전환되어 다를게 없고, 바꾸는데 드는 혼란은 크므로 이제와서 10진법을 버릴 일은 없을 것이다. 왜냐하면 인류가 12진법이나 16진법으로 바꾸게 되면, 많은 사람들의 반발을 우려할 뿐만 아니라 숫자의 표기부터 해서 지구상에 숫자가 붙은 모든 것(책, 전자제품, 제품, 간판 등)을 바꾸어야 하기 때문에, 천문학적 비용이 들기 때문이다. 역사적으로도 프랑스 혁명때 도량형을 개선하려 했어도 시간만큼은 10진법으로 바꾸지 못했고, 우주왕복선 하나가 떨어졌는데도 미국에서는 미터법 도입을 못하고 있는것을 보면 그보다 더 큰 일인 10진법을 여타 진법으로 바꾸는 일은 안될거야(...)
3 십진법의 수학적 특징
십진법에서는 10의 약수가 1,2,5,10이고, 소수가 2,5이기 때문에, 이들만을 곱셈으로 조합한 숫자 [math]2^{x}5^{y}[/math] ([math]x,y[/math]는 자연수)를 분모로한 기약분수는 분모를 [math]10^n[/math] ([math]n[/math]은 자연수)꼴로 나타낼 수 있기 때문에 유한소수가 된다. 다시말해 기약분수꼴일때 2, 5외의 소인수가 분모에 있으면 그 수는 순환소수. 그리고, 2와 5는 밀접한 관계가 있으며 대략적으로 다음과 같은 성질이 있다.
- [math]2^{-n} = 5^{n}10^{-n}[/math] 이다. ([math]a^{-n} = {1 \over a^{n}}[/math])
- [math]5^{-n} = 2^{n}10^{-n}[/math] 이다.
- [math]2^{a} 5^{b}[/math]에서
- [math]a \lt b[/math] 이면, 그 값은 [math]5^{b-a} 10^{a}[/math]이다.
- 예) [math]2^{3} 5^{4} = 5 \cdot 1000 = 5000[/math]
- [math]a = b[/math] 이면, 그 값은 [math]10^{a}[/math]이다.
- 예) [math]2^{5} 5^{5} = (2 \cdot 5)^{5} = 100000[/math]
- [math]a \gt b[/math] 이면, 그 값은 [math]2^{a-b} 10^{b}[/math]이다.
- 예) [math]2^{4} 5^{1} = 8 \cdot 10 = 80[/math]
4 십진법의 열가지 숫자와 용례(?)
과거에는 한자 문화권에서는 零, 壹, 貳, 參, 肆, 伍, 陸, 柒, 捌, 玖[8]또는 空,一,二,三,四,五,六,七,八,九로 사용하였으나, 지금은 아라비아 숫자 10개(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)로 통일해서 표기하고 있다. 다만 숫자 항목에도 나와있지만 정작 아라비아 등지의 지역에서는 다른 모양의 숫자를 쓴다.
대한민국에서는 주로 숫자를 기록하거나 말할때, 1, 2, 3은 초반, 4, 5, 6은 중반, 7, 8, 9는 후반으로 보는 경우나- ↑ 모든 진법은 그 진법으로 나타냈을때 10진법이다. 예를 들어 2진법에서는 2가 10이므로
- ↑ 10개의 사과를 3명 혹은 4명에게 나누어 줄 때 인원수에 맞게 나누어 떨어지지 않는다.
- ↑ 12진법 (1, 2, 3, 4)에 약수 5를 추가하여 10진법에 대한 부분호환성도 노릴수 있다.
- ↑ 베르나르 베르베르의 소설 개미의 설정을 보면 여기서 개미들은 12진법을 사용하고 있다고 한다. 개미의 각 다리에 2개의 발톱이 달려있어 2(발톱)X6(다리 숫자)=12가 되기 때문.
- ↑ 하지만 여러 나라의 문화를 보면 몸을 이용해서 수를 세는 것도 꼭 손가락 10개를 꼽는 방법만 있는 것은 아니었다. 어떤 부족은 손가락 사이의 틈을세서 8진법을 쓴다고 한다.
- ↑ 4는 2진법으로 100, 128은 10000000, 132는 10000100이다. 이제 맨 오른쪽을 기준해 첫번째 숫자는 오른손 새끼손가락, 두번째 숫자를 오른손 약지, 세번째 숫자는 오른손 중지, ... , 일곱번째 숫자는 왼손 검지, 여덟번째 숫자는 왼손 중지, ... 에 대응시켜서 해당 숫자를 표시해보자(...).
앞에 마침 다른 사람이 있다면 흥겹게 리얼철권을 찍을수도 있다. - ↑ 물론 단련된 사람에게는 그리 어렵지도 않다.
- ↑ 참고로 이것은 한자의 갖은자이며, 0에 대응하는 한자 零은 꽤 나중에 만들어졌다(...)