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수반 연산자

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역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.

1 수반 연산자(adjoint operator)의 정의

F 위의 벡터 공간 V와 그 위의 내적 (), 선형 연산자 T를 생각하자. V 위의 선형 연산자 UT수반 연산자(adjoint operator)라 함은 다음이 성립하는 것이다.

* (uTv)=(Uuv)
  • 자명하게, T가 수반 연산자를 가지면, T 역시 그러하며 T=T이다.
  • T, U가 수반 연산자를 가지면, TU 역시 그러하며 (TU)=UT이다.

유한 차원 벡터 공간에서는, 모든 선형 연산자는 수반 연산자를 갖는다. 그러나 무한 차원 벡터 공간에서는 경우마다 다르다. T가 수반 연산자를 갖는 경우, T라 표현한다.
내적을 보통, F=R,C에서 다루므로, 수반 연산자도 F=R,C에서 다루는 것이 일반적이다.

2 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성

그람-슈미트 과정에 의하면, V의 기저 B={ϵi:1in}가 존재하여, 임의의 u,vV에 대해, (uv)=[u]B[v]B이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. (uTv)=[u]B[Tv]B=[u]B([T]B[v]B)=([u]B[T]B)[v]B=([T]B[u]B)[v]B이다. [T]B에 해당하는 선형 변환U라 하면,
([T]B[u]B)[v]B=[Uu]B[v]B=(Uuv)이다. 따라서, TT=U로 존재한다.

이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.

다음을 쉽게 보일 수 있다.

T를 임의의 선형 연산자라 하자. WT의 불변부분공간이면, WT의 불변부분공간이다.

3 자기 수반(self-adjoint) 연산자

T의 수반 연산자가 T=T이면 자기 수반 연산자(self-adjoint)라 한다.

4 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들

  • F=R
    F=R일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, 대신 전치인 t를 쓴다.[1]
    • 직교군(orthogonal group) O(n):={AGLn(R):AtA=I}
      이 행렬들은 내적을 보존해준다.
    • 특수 직교군(special orthogonal group) SO(n):={ASLn(R):AtA=I}
    • 자기 수반 행렬 {AGLn(R):At=A}
  • F=C
    • 유니타리군(unitary group) U(n):={AGLn(C):AA=I}
      이 행렬들은 내적을 보존해준다.
    • 특수 유니타리군(special unitary group) SU(n):={ASLn(C):AA=I}
    • Hermitian 행렬 {AGLn(C):A=A}

5 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)

5.1 유니타리 대각화(unitary diagonalization)[2]

유니타리 대각화(unitary diagonalization)는 행렬 AMn(F)를, 적절한 UUn와 대각행렬[3] DMn(C)를 찾아, A=UDU로 표현하는 일이다. U=U1이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.

질문은 이것이다. 행렬이 유니타리 대각화가 가능할 필요충분 조건은 무엇인가? 자명하게, A유니타리 대각화 가능이면, AA=AA이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.

5.2 정규 연산자(normal operator)

유한 차원 벡터 공간V 상의 선형 변환 T정규 연산자(normal operator)라 함은, TT=TT가 성립하는 것이다.

다음이 성립한다.

T를 정규 연산자라 하자. 임의의 cC, vV에 대해, Tv=cv이면, Tv=¯cv이다.

이것에서 다음을 얻는다.

T를 정규 연산자, μ, λT의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, WλWμ이다.[4]

여기서, 직교 분해 λ:char. val.Wλ\ltV를 얻는다.W:=λ:char. val.Wλ에 대해, WT의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, WT의 불변부분공간이다. T|W:WW이다. W을 가정하면, cC, 0vW가 존재하여, Tv=cv이다. 따라서, Tv=¯cv이다. 따라서, vW인데 이는 모순이다. 따라서, W=0이다. 고로, V=WW=λ:char. val.Wλ이다.

이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. A=UDUUU(n)Wλ의 직교 기저들로 구성해주면 된다.

5.3 따름 정리들

  • 유니타리 행렬은 유니타리 대각화 가능이고, 그 대각행렬은 실행렬이다.
    유니타리 행렬의 고유치는 실수라는 것을 이용하면 된다. 그리고 유니타리 행렬은 정규 연산자이다.
선형 변환복소수
수반 연산자
T
켤레
¯c
자기 수반 연산자
T=T
실수
¯c
유니타리 변환
TT=I
크기가 1
¯cc=1
선형 변환¯c
선형 변환¯c
  1. 이동 뭘 사용해도 상관은 없다.
  2. 이동 실행렬의 경우, 유니타리 개념이 직교 개념이 되므로, 직교 대각화(orthogonally diagonalization) 가능이라 부르면 된다. 이하의 논의에서도 유니타리를 모두 직교로 바꿔 읽으면 된다.
  3. 이동 대각선 외의 성분이 모두 0인 행렬, 대각선의 성분은 0이어도 좋다.
  4. 이동 Wμ, Wλ는, μ, λ에 해당하는 고유 공간이다.