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목차
[숨기기]역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.
1 수반 연산자(adjoint operator)의 정의
체 F 위의 벡터 공간 V와 그 위의 내적 (⋅∣⋅), 선형 연산자 T를 생각하자. V 위의 선형 연산자 U가 T의 수반 연산자(adjoint operator)라 함은 다음이 성립하는 것이다.
* (u∣Tv)=(Uu∣v)
- 자명하게, T가 수반 연산자를 가지면, T∗ 역시 그러하며 T=T∗∗이다.
- T, U가 수반 연산자를 가지면, TU 역시 그러하며 (TU)∗=U∗T∗이다.
유한 차원 벡터 공간에서는, 모든 선형 연산자는 수반 연산자를 갖는다. 그러나 무한 차원 벡터 공간에서는 경우마다 다르다. T가 수반 연산자를 갖는 경우, T∗라 표현한다.
내적을 보통, F=R,C에서 다루므로, 수반 연산자도 F=R,C에서 다루는 것이 일반적이다.
2 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성
그람-슈미트 과정에 의하면, V의 기저 B={ϵi:1≤i≤n}가 존재하여, 임의의 u,v∈V에 대해, (u∣v)=[u]∗B[v]B이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. (u∣Tv)=[u]∗B[Tv]B=[u]∗B([T]B[v]B)=([u]∗B[T]B)[v]B=([T]∗B[u]B)∗[v]B이다. [T]∗B에 해당하는 선형 변환을 U라 하면,
([T]∗B[u]B)∗[v]B=[Uu]∗B[v]B=(Uu∣v)이다. 따라서, T∗는 T∗=U로 존재한다.
이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.
다음을 쉽게 보일 수 있다.
T를 임의의 선형 연산자라 하자. W가 T의 불변부분공간이면, W⊥는 T∗의 불변부분공간이다.
3 자기 수반(self-adjoint) 연산자
T의 수반 연산자가 T∗=T이면 자기 수반 연산자(self-adjoint)라 한다.
4 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들
- F=R
F=R일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, ∗대신 전치인 t를 쓴다.[1]- 직교군(orthogonal group) O(n):={A∈GLn(R):AtA=I}
이 행렬들은 내적을 보존해준다. - 특수 직교군(special orthogonal group) SO(n):={A∈SLn(R):AtA=I}
- 자기 수반 행렬 {A∈GLn(R):At=A}
- 직교군(orthogonal group) O(n):={A∈GLn(R):AtA=I}
- F=C
- 유니타리군(unitary group) U(n):={A∈GLn(C):A∗A=I}
이 행렬들은 내적을 보존해준다. - 특수 유니타리군(special unitary group) SU(n):={A∈SLn(C):A∗A=I}
- Hermitian 행렬 {A∈GLn(C):A∗=A}
- 유니타리군(unitary group) U(n):={A∈GLn(C):A∗A=I}
5 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)
5.1 유니타리 대각화(unitary diagonalization)[2]
유니타리 대각화(unitary diagonalization)는 행렬 A∈Mn(F)를, 적절한 U∈Un와 대각행렬[3] D∈Mn(C)를 찾아, A=UDU∗로 표현하는 일이다. U∗=U−1이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.
질문은 이것이다. 행렬이 유니타리 대각화가 가능할 필요충분 조건은 무엇인가? 자명하게, A유니타리 대각화 가능이면, A∗A=A∗A이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.
5.2 정규 연산자(normal operator)
유한 차원 벡터 공간V 상의 선형 변환 T가 정규 연산자(normal operator)라 함은, T∗T=TT∗가 성립하는 것이다.
다음이 성립한다.
T를 정규 연산자라 하자. 임의의 c∈C, v∈V에 대해, Tv=cv이면, T∗v=¯cv이다.
이것에서 다음을 얻는다.
T를 정규 연산자, μ, λ를 T의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, Wλ⊥Wμ이다.[4]
여기서, 직교 분해 ⨁λ:char. val.Wλ\ltV를 얻는다.W:=⨁λ:char. val.Wλ에 대해, W가 T의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, W⊥가 T∗의 불변부분공간이다. T∗|W⊥:W⊥→W⊥이다. W⊥≠⟨∅⟩을 가정하면, c∈C, 0≠v∈W⊥가 존재하여, T∗v=cv이다. 따라서, Tv=¯cv이다. 따라서, v∈W인데 이는 모순이다. 따라서, W⊥=0이다. 고로, V=W⨁W⊥=⨁λ:char. val.Wλ이다.
이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. A=UDU∗인 U∈U(n)는 Wλ의 직교 기저들로 구성해주면 된다.
5.3 따름 정리들
- 유니타리 행렬은 유니타리 대각화 가능이고, 그 대각행렬은 실행렬이다.
유니타리 행렬의 고유치는 실수라는 것을 이용하면 된다. 그리고 유니타리 행렬은 정규 연산자이다.
선형 변환 | 복소수 |
수반 연산자 T∗ | 켤레 ¯c |
자기 수반 연산자 T∗=T | 실수 ¯c |
유니타리 변환 T∗T=I | 크기가 1 ¯cc=1 |
선형 변환 | ¯c |
선형 변환 | ¯c |