수반 연산자

역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.

1 수반 연산자(adjoint operator)의 정의

체 [math]F[/math] 위의 벡터 공간 [math]V[/math]와 그 위의 내적 [math]\left(\cdot\mid\cdot\right)[/math], 선형 연산자 [math]T[/math]를 생각하자. [math]V[/math] 위의 선형 연산자 [math]U[/math]가 [math]T[/math]의 수반 연산자(adjoint operator)라 함은 다음이 성립하는 것이다.

* [math]\left(u\mid Tv\right)=\left(Uu\mid v\right)[/math]

• 자명하게, [math]T[/math]가 수반 연산자를 가지면, [math]T^{*}[/math] 역시 그러하며 [math]T=T^{**}[/math]이다.
• [math]T[/math], [math]U[/math]가 수반 연산자를 가지면, [math]TU[/math] 역시 그러하며 [math]\left(TU\right)^{*}=U^{*}T^{*}[/math]이다.

유한 차원 벡터 공간에서는, 모든 선형 연산자는 수반 연산자를 갖는다. 그러나 무한 차원 벡터 공간에서는 경우마다 다르다. [math]T[/math]가 수반 연산자를 갖는 경우, [math]T^{*}[/math]라 표현한다.
내적을 보통, [math]F=\mathbb{R},\mathbb{C}[/math]에서 다루므로, 수반 연산자도 [math]F=\mathbb{R},\mathbb{C}[/math]에서 다루는 것이 일반적이다.

2 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성

그람-슈미트 과정에 의하면, [math]V[/math]의 기저 [math]\mathcal{B}=\left\{ \epsilon_{i}:1\leq i\leq n\right\} [/math]가 존재하여, 임의의 [math]u,v\in V[/math]에 대해, [math]\left(u\mid v\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}[/math]이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. [math]\left(u\mid Tv\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[Tv\right]_{\mathcal{B}}=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}}\right)=\left(\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[T\right]_{\mathcal{B}}\right)\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}[/math]이다. [math]\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}[/math]에 해당하는 선형 변환을 [math]U[/math]라 하면,
[math]\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left[Uu\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(Uu\mid v\right)[/math]이다. 따라서, [math]T^{*}[/math]는 [math]T^{*}=U[/math]로 존재한다.

이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.

다음을 쉽게 보일 수 있다.

[math]T[/math]를 임의의 선형 연산자라 하자. [math]W[/math]가 [math]T[/math]의 불변부분공간이면, [math]W^{\perp}[/math]는 [math]T^{*}[/math]의 불변부분공간이다.

3 자기 수반(self-adjoint) 연산자

[math]T[/math]의 수반 연산자가 [math]T^{*}=T[/math]이면 자기 수반 연산자(self-adjoint)라 한다.

4 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들

• [math]F=\mathbb{R}[/math]
  [math]F=\mathbb{R}[/math]일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, [math]^{*}[/math]대신 전치인 [math]^{t}[/math]를 쓴다.
  • 직교군(orthogonal group) [math]\text{O}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}[/math]
    이 행렬들은 내적을 보존해준다.
  • 특수 직교군(special orthogonal group) [math]\text{SO}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\}[/math]
  • 자기 수반 행렬 [math]\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}=A\right\}[/math]
• [math]F=\mathbb{C}[/math]
  • 유니타리군(unitary group) [math]\text{U}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}[/math]
    이 행렬들은 내적을 보존해준다.
  • 특수 유니타리군(special unitary group) [math]\text{SU}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\}[/math]
  • Hermitian 행렬 [math]\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}=A\right\}[/math]

5 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)

5.1 유니타리 대각화(unitary diagonalization)

유니타리 대각화(unitary diagonalization)는 행렬 [math]A\in M_{n}\left(F\right)[/math]를, 적절한 [math]U\in\text{U}_{n}[/math]와 대각행렬 [math]D\in M_{n}\left(\mathbb{C}\right)[/math]를 찾아, [math]A=UDU^{*}[/math]로 표현하는 일이다. [math]U^{*}=U^{-1}[/math]이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.

질문은 이것이다. 행렬이 유니타리 대각화가 가능할 필요충분 조건은 무엇인가? 자명하게, [math]A[/math]유니타리 대각화 가능이면, [math]A^{*}A=A^{*}A[/math]이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.

5.2 정규 연산자(normal operator)

유한 차원 벡터 공간[math]V[/math] 상의 선형 변환 [math]T[/math]가 정규 연산자(normal operator)라 함은, [math]T^{*}T=TT^{*}[/math]가 성립하는 것이다.

다음이 성립한다.

[math]T[/math]를 정규 연산자라 하자. 임의의 [math]c\in \mathbb{C}[/math], [math]v\in V[/math]에 대해, [math]Tv=cv[/math]이면, [math]T^{*}v=\overline{c}v[/math]이다.

이것에서 다음을 얻는다.

[math]T[/math]를 정규 연산자, [math]\mu[/math], [math]\lambda[/math]를 [math]T[/math]의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, [math]W_{\lambda}\perp W_{\mu}[/math]이다.

여기서, 직교 분해 [math]{\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}\ltV[/math]를 얻는다.[math]W:={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}[/math]에 대해, [math]W[/math]가 [math]T[/math]의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, [math]W^{\perp}[/math]가 [math]T^{*}[/math]의 불변부분공간이다. [math]\left.T^{*}\right|_{W^{\perp}}:W^{\perp}\rightarrow W^{\perp}[/math]이다. [math]W^{\perp}\neq\left\langle \emptyset\right\rangle [/math]을 가정하면, [math]c\in \mathbb{C}[/math], [math]0\neq v\in W^{\perp}[/math]가 존재하여, [math]T^{*}v=cv[/math]이다. 따라서, [math]Tv=\overline{c}v[/math]이다. 따라서, [math]v\in W[/math]인데 이는 모순이다. 따라서, [math]W^{\perp}=0[/math]이다. 고로, [math]V=W\bigoplus W^{\perp}={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}[/math]이다.

이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. [math]A=UDU^{*}[/math]인 [math]U\in\text{U}\left(n\right)[/math]는 [math]W_{\lambda}[/math]의 직교 기저들로 구성해주면 된다.

5.3 따름 정리들

• 유니타리 행렬은 유니타리 대각화 가능이고, 그 대각행렬은 실행렬이다.
  유니타리 행렬의 고유치는 실수라는 것을 이용하면 된다. 그리고 유니타리 행렬은 정규 연산자이다.

선형 변환

복소수

수반 연산자 [math]T^{*}[/math]

켤레 [math]\overline{c}[/math]

자기 수반 연산자 [math]T^{*}=T[/math]

실수 [math]\overline{c}[/math]

유니타리 변환 [math]T^{*}T=I[/math]

크기가 [math]1[/math] [math]\overline{c}c=1[/math]

선형 변환

[math]\overline{c}[/math]

선형 변환

[math]\overline{c}[/math]