무한대

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1 개요

∞

영어: Infinity, 독일어: Unendlichkeit

아무도 칸토어의 천국에서 우리를 내쫓을 수 없을 것이다.

- 다비드 힐베르트

현대수학에서의 무한대는 무한히 커지는 상태, 무한집합의 원소의 수, 등의 무한한 대상을 나타내는 여러 가지 다른 개념을 의미한다. 대학교 이름이 아니다! 무한대학교?

2 (실)수열의 무한대

2.1 오해

그런 거 없다. 적어도 실수 집합 안에서는. 실수에서의 무한대란 개념이 교과서에 처음 등장하는 것이 고교과정 수학의 미적분1의 수열의 극한 단원이다. 그런데 이 부분이 오해하기 워낙 쉬운 단원이다 보니, 무한대에 대한 온갖 오해를 갖게 된다. 배우기 이전에도 무한대에 대한 자연스럽지만 엄밀하지는 못한 생각을 막연히 갖고 있기도 했을 것이고.

고교 과정 수학의 수열에서, "[math]n[/math]이 무한히 커질 때, ...", "양/음의 무한대로 발산한다"는 표현 등이 큰 오해를 일으키고 있다[1]. 무한대가 쓰이는, 이런 용례에서 흔히 무한대가 실재하는 것, 혹은 동적 개념으로 이해하지만 전혀 그렇지 않다. 그렇다고, 무한히 커진다는 표현이나, 무한대로의 발산이 모호한 개념인 것은 아니고, 명확하게 정의된다. 다만, 그 정의가 고교 수준에서 소개할 것은 아니고, 한 눈에 직관적 정의와 부합함을 알기는 어렵다.[2] 해석학을 엄밀화하려는 시도가 무한대, 무한소가 실재한다는 사고 때문에 일어났고[3], 해석학은 이 둘을 몰아내는 방향으로 엄밀화되었다.[4] 따라서 무한대는 어떠한 상태를 일컫는 말도 아니고, 실수도 아니다. "무한대"란 "단어"가 들어가는 표현은 관용적인 표현으로 봐야한다.

이것이 표준적이고 엄밀한 내용이다. 초실수와 해석적 접속#[5] 등 무한대를 직관에 더 가깝게 다루려는 결과물들이 있지만, 이를 수학적으로 엄밀히 정의하는 것은 표준적인 극한의 정의보다도 훨씬 어려운 일이다.

현재에도 무한급수의 계산에서 나오면 피 토하는 수학자 및 물리학자들이 많다. 엘러건트 유니버스의 저자 가라사대, 무한대는 네 이론이 잘못됐다고 신이 내리는 회초리라고.

3 집합론의 무한대

무한집합의 원소의 수. 그럼 무한집합이 뭐냐는 질문에 도달하는데 어떤 집합에 대해 농도가 같은 진부분집합이 존재하면 무한집합이라 한다. 물론 개수를 하나하나 센다는 느낌으로 접근하는 것은 아니고, 아주 간단히 말하면 함수의 일대일을 통하여 무한집합들의 크기를 비교할 때의 서열을 구분한 것이다.

약간 더 자세히 말하자면 이 개념은 수학자 게오르그 칸토어(Georg Cantor, 1845-1918)의 집합론에서 출발된 것인데, 그는 자연수, 정수, 유리수의 집합은 서로 일대일대응을 줄 수 있지만, 실수집합의 경우는 자연수에서 실수로 가는 전사대응을 줄 수가 없는, 즉 '실수 집합의 크기가 더 큰' 것을 증명하였다.[6] 이 기준을 통해 무한집합들에 대해 서열을 매긴 것을 기수(cardinality) 혹은 초한기수(transfinite cardinality)라 부른다. 이 초한기수의 서열은 가장 작은 자연수의 기수인 알레프-0부터 시작해 끝도 없이 이어지므로, 무한히 많은 종류의 무한대가 존재한다는 사실을 알 수 있다. 더욱 자세한 것은 해당 문서 참고.

독일의 수학가 다비드 힐베르트는 집합론의 무한대(엄밀하게는 자연수의 초한기수이다.)가 갖고 있는 기묘한 성질을 잘 보여주는 하나의 예제를 만들었다. '힐베르트의 호텔'이라고 불리는 이 유명한 예제는 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 가상의 호텔에서 시작된다.

이 호텔에는 무한 개의 객실이 있다. 어느 날 한 손님이 호텔로 찾아왔는데 객실이 무한 개가 있음에도 불구하고 방마다 모두 투숙객들이 들어있었으므로 빈 방을 내줄 수가 없었다.

그런데 호텔 종업원인 힐베르트는 잠시 생각하던 끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련할 수 있노라고 호언장담을 한다. 그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 한다.
"죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다."
이해심 많은 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨 갔으며 자기 방을 못 찾아 헤매는 사람도 없었다. 그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유 있게 들어갔다. 이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해 주는 좋은 예이다.

그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 방을 모두 점거하고 있는 상태에서 무한히 긴 기차를 타고 온 무한대의 손님들이 새로 도착한 것이다.뭐?

힐베르트는 당황하기는커녕, 무한대의 숙박료를 더 받을 수 있다고 혼자서 쾌재를 부른다. 이미 돈은 무한인데? 그는 곧 객실에 안내 방송을 내보냈다.
"손님 여러분, 죄송하지만 현재 묵고 계신 객실 번호에 2를 곱하셔서 그 번호에 해당되는 객실로 모두 옮겨 주시기 바랍니다. 감사합니다!"
이리하여 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, ... 모두 이동을 마쳤다. 자기 방을 빼앗긴 손님이 하나도 없는데도, 어느 새 호텔에는 무한 개의 빈 객실이 생긴 것이다.
힐베르트의 재치 덕분에 새로 도착한 무한대의 손님들은 홀수 번호가 붙어있는 무한 개의 객실로 모두 배정되어 편히 쉴 수 있었다. 이것은 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대임을 말해주고 있다. 그럼 무한대의 숙박료를 두 번 받아도 무한대일텐데

4 기타 여러 가지 무한대

보다 고급 해석학에서는 무한대의 발산 등을 편리하게 다루기 위해 무한대를 수 체계에 편입시키기도 한다. 확장된 실수(expanded real number) 및 확장된 복소수(expanded complex number) 체계가 대표적. 여기서는 제한적으로 무한대에 대한 일부 연산이 허용되긴 하지만, 수로는 인정하지 않는다.

수학자 콘웨이(John Conway, 1937~)는 게임으로 수를 해석하는 독창적 관점을 제시하였고, 초실수(surreal number)라는 개성있는 체계를 탄생시켰다. 이 수 체계는 무한대([math]\omega[/math]엉덩이 고양이입 3 돌린거) 및 무한소([math]\epsilon[/math])를 포함하고, 이들을 이용해 [math]2\omega[/math], [math]\omega-1[/math], [math]\displaystyle \frac{\omega}{2}[/math], [math]\omega^2[/math], [math]\sqrt{\omega}[/math], [math]2\epsilon[/math], [math]\epsilon-1[/math], [math]\displaystyle \frac{\epsilon}{2}[/math], [math]\epsilon^2[/math], [math]\sqrt{\epsilon}[/math], [math]\omega+\epsilon[/math], [math]\omega-\epsilon[/math] 등등 자유자재로 연산을 할 수 있는 기묘한 체(field)이다. 그런데 신기한 것은, 무한대가 존재하는 이 수 체계에서도 '가장 큰 수'는 여전히 정의되지 않는다.

임의의 유한한 수보다 큰 수를 '초한수'(transfinite number)라고 한다. 그 예로 최초의 극한 순서수인 [math]\omega=\mathbb{N}[/math], 무한집합의 크기(cardinality)를 나타내는 초한기수 [math]\aleph_0=\left|\mathbb{N}\right|[/math] 등이 있다.

4.1 위상수학

국소 컴팩트(locally compact) 공간을 컴팩트화(compactification)시킬 때, 추가하는 원소를 흔히 [math]\infty[/math]로 표현한다. 단지 표현에 지나지 않는다고 할 수 있다는 위키러를 위해 덧붙이자면, 추가된 원소 [math]\infty[/math]는 정말로 무한대처럼 작동한다. 예를 들어, 실수 [math]\mathbb{R}[/math]을 [math]\bar{\mathbb{R}}[/math]로 컴팩트화할 때, 함수 [math]1/x[/math]를, [math]\frac{1}{\infty}=0[/math], [math]\frac{1}{0}=\infty[/math]로 정의하여 확장하면 이는 연속함수이다.

복소평면 [math]\mathbb{C}[/math]에 무한대점[math]\infty[/math]을 취해 컴팩트화한 [math]\hat{\mathbb C}[/math]는 구와 위상동형이고, 이 때의 위상동형함수는 극사영 함수(stereographic function)이고, 그 구는 리만 구(Riemann sphere)라 불린다. [math]\infty[/math]는 리만 구의 북극에 대응한다.
한줄요약: 끝이 없다.

5 창작물에서의 무한대

서브컬쳐물에선 주인공이나 악역이 "내 힘(or 능력)은 무한대이다!" 라고 언급하기도 하는 데, "내 힘은 한계가 없으니 한계있는 너보다 강하다"라는 의미를 지니고 있다. 물론 둘 다 무한까지는 아니더라도 그에 준할 정도로 진짜 강하다는 의미를 지니거나 그냥 허세로 취급한다. 물론 전자보단 후자가 많다. 악역들이 후자인 상태에서 대다수 이 말을 하고 주인공에게 잔뜩 털린다. 간혹가다 주인공이 이런 케이스인 경우도 있다. 심지어 진짜로 존재 자체가 무한, 그 자체인 최종보스가 등장하는 작품도 있다[7]

판타지일 경우에는 마력이 무한대여서 마법을 자유자재로 극딜하는 경우가 대다수이며[8], SF일 경우에는 영구기관[9]에서 나오는 에너지를 무한동력이라고 언급하는 경우가 많다.

5.1 관련 캐릭터

{{틀:스포일러}}
  1. ↑ 이런 표현이 잘못되었다는 것은 아니며, 수학자들도 쓰는 표현이다. 수학자들이 외면한 표현이라 하더라도, 이 표현은 버리기엔 너무 아깝다. 처음 배우는 이들에게는 엄밀함보다는 직관이 중요한데, 이 표현은 아주 직관적이기 때문이다.
  2. ↑ 조금 다르지만 본질은 마찬가지인, 함수의 극한의 정의 엡실론-델타 논법을 검색해보자. "한없이 다가간다"는 느낌이 바로 드는가?
  3. ↑ 엄밀한 정의 없이 직관적 정의로 해석학을 하려다 보니, 온갖 모순들이 생겨났다. 심지어 오일러도 진동 급수의 대표적인 예인 [math] \sum_{n \leq 0}(-1)^n [/math]이 [math] 1/2 [/math]에 수렴한다고 했다.
  4. ↑ 다만 비표준해석학이라는, 초실수체를 도입하여 무한소를 엄밀하게 정의한 해석학도 존재한다.
  5. ↑ 링크의 동영상은 라마누잔합에 관한 내용을 다루고 있다.
  6. ↑ 최근 EBS의 다큐프라임 넘버스 2부 천국의 사다리 - ∞ 편에서도 자세한 설명을 볼 수 있다.
  7. ↑ 본작의 주인공인 미지수조차 "난 아직 널 정의할 능력이 없어! 그래, 인정한다! 난 널 몰라! 하지만 지금 알게 된 건, 내가 뭘 모르는가를 알 수는 있겠다는 거야! 그러니까 너는 잠시 꺼져 줘. 곧 네가 있는 곳으로 내가 간다! 조금 걸리더라도 기다려!"라고 말하며 리바이어던을 다른 공간으로 추방 날려버린다. 쉽게 말하면 마왕이 넘사벽급으로 강해서 용사가 마왕을 못 없애고 다른 세계로 날려버렸다는 말이 된다(...) 다른 세계 지못미 실수로 자기 세계에 날렸다면 병크
  8. ↑ 주로 양판소에서 이런 전개가 많다.
  9. ↑ 단, 영구기관은 현실적으론 불가능하기에 고증을 중시한 하드 SF보단 소프트 SF나 스페이스 오페라에 자주 등장한다. 하드 SF에선 실제로 무한하진 않지만 극도로 발전한 기술과 효율적인 자원을 이용해 "현실적인 범위 내에서" 무한한 에너지를 사용하는 경우가 많다.
  10. ↑ 사이버 매트릭스 월드는 죽음과 재생의 순환고리로 현실에 얽혀있기에 영원히 죽지도 늙지도 않는 존재로 살아갈 수 있다.
  11. ↑ 이 두 카드는 애니판 한정으로 공격력이 무한대이다.
  12. ↑ 다만 오벨리스크의 거신병은 만화판 한정이며, 2마리의 몬스터를 제물을 바치는 대가로 공격력이 무한대로 된다.
  13. ↑ 그가 어머니인 에스프레소에게 받은 새로운 마법 지팡이는 영지나무로 이루어져 있는데, 마력을 무한대로 흡수할 수 있는 사기급 서능을 지니고 있다.
  14. ↑ 작중 등장인물들의 말로는 영지나무는 마력을 무한대로 흡수할 수 있다.
  15. ↑ 포스가 무한하다. 여기서 포스는 이 세계의 전투력 내지는 에너지 척도라고 봐도 된다.
  16. ↑ MP가 없어서 MP에 한계가 있는 다른 캐릭터들에 비해, MP가 없는 이 캐릭터는 기술을 끝없이 사용할 수 있다.
  17. ↑ 데몬어벤져는 MP의 제약이 없는 대신에 HP를 사용한 전투방식을 사용하기에 이 항목에 포함시키지는 않는다.
  18. ↑ 에미야는 투영의 일부이자, 고유결계인 무한의 검제가 있는데, 말 그대로 복제한 보구를 무한대 단위로 쓸 수 있는 그의 고유결계.
  19. ↑ 자세한 설명은 터스크, 황금장방형 항목을 참고.
  20. ↑ 이름이 무한을 의미한다.