원주율

(Pi에서 넘어옴)

날짜에 대해서는 3월 14일 문서를 참조하십시오.

나무위키의 수학상수
01iπe√2√3√5φγB2, B4Gδ, α

圓周率 / pi / [math] { \pi } [/math]

1 개요

兀[1]

원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비. 문자로 π, pi라고 사용한다. 한국 발음으로는 파이.

그리스 문자 π로 표시하는데 그리스어로 둘레를 뜻하는 "περιμετρος(perimetros)"의 앞자리 π에서 가져왔다고 한다. 최초로 원주율을 π로 표기한 사람은 레온하르트 오일러라고 한다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 만약 원주율이 유리수라는것을 찾아내면 지금 당장 가까운 대학교 수학과 또는 가까운 정신병원으로 가보자. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만...

2 상세

수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수이다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로 3.14를 사용하며, 3.1, 3, [math]\frac{22}{7}[/math] 같은 수도 사용한다. 그래서 이거 배울때쯤 초등학생의 세 자릿수 곱셈 능력이 비약적으로 증가한다 대신 미친 듯이 계산하기 귀찮다 중학교나 고등학교 올라가면 저런 거 없이 그냥 π를 붙이는 것으로 계산 끝. 어째 초등학교 때보다 중고등학교 가니까 계산이 더 쉬워진다 중고딩땐 문자 외우고 공식 외워야 되니까... 일본에서는 쉬운 교육이라는 모토로 출발한 유토리 교육에서 "약 3"으로 가르친 적이 있는데, 수학을 포함한 공교육 수준이 크게 나빠지면서 결국 취소되었다. 당시 논쟁 가운데 일본의 91대 총리 후쿠다 야스오가 남긴 회견 발언은 지금도 시사점이 있다.

원주율이 약 3이면 외울 수 있어도 3.14면 외울 수 없다는 생각은 이상합니다. 나는 더 길게 말할 수 있어요. 3.14159265358….

실제로 공대 등에서는 3.14159까지 소수점 다섯 째까지 사용하는 것이 일반적이고, 좀 가볍게 외우면 3.141592까지 외운다. 이건 1592년이란 숫자 자체가 임진왜란으로 외우기 쉽다는 것에 기인한다는 말이 있다. (원래 알고 있던 3.14 + 임진왜란의 발발 년도 1592 = 3.141592) 참고로 1415년에도 그 유명한 백년전쟁의 아쟁쿠르 전투가 있어 파이는 피비린내 나는 전쟁으로 시작한다.란 드립이 나오게 되었다. 그럼 4159년에도...?

실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다. NASA가 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도. 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다.

소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있다. 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 거기(=762자리...)까지만 외운다면서 나온 수고, 사람의 잉여짓에는 끝이 없는지라 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[2] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.

무한대의 숫자이기도 하여 각종 기록들을 양산하기도 한다. 위에서 처럼 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다.

3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 파이의 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 3.14을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이기도 하다.

이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다.

분수 7분의 22가 π의 근사값이므로 파이 근사값의 날은 7월 23일이다.

매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 이 파이의 의미를 기려서 매년 합격자 발표일이 3월 14일. 그것도 15시 9분26초?이다. 3. 14. 15 : 9.

공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 π와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 e와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러의 공식인 [math] e^{ ix } = \cos{ x } + i \sin{ x } [/math]로 인해서 복소수, e, π, 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다.

원주율 π와 자연상수 e와 복소수 i 간에는 [math]e^{i\pi} + 1 = 0[/math]이 성립한다. 이를 오일러의 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 [math] x = \pi [/math]를 대입하면 나오는 결과이다.

이곳에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.

3 값

구체적인 값은 원주율/값 항목 참조.

4 계산법

원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 원주율과 관련된 무한급수로 다음과 같은 것들이 있다.

[math]\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}[/math]

[math]\displaystyle \frac{\pi^2}{8}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(1+2n)^2}}[/math]

[math]\displaystyle \frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}}[/math]

5 원주율의 역사

많은 곳에서 원을 '완전성'의 상징으로 이해하기 때문에, 지름과 원주의 관계에서 파생되는 이 불규칙한 숫자는 역설적으로 신비로움의 대상이 된다. 이와 관련하여 '어째서 원의 길이가 지름의 3.1415926535...배가 되는가'를 설명할 수 있다면 우주의 진리를 알 수 있다는 도시전설도 있다. 아마도 π를 처음 배우는 학생들로부터 자주 듣는 질문이라 그런 듯.

최초의 원주율은 이집트나 바빌로니아에서 구한 것으로 여겨진다. 초기엔 아메스가 [math]\frac{256}{81}[/math](3.160493)을 사용했고 이것은 [math]\frac{4}{3}[/math]의 네제곱이다. 직접 바퀴를 굴려서 구한 것으로 여겨진다. 바빌로니아는 [math]\displaystyle \frac{3}{\frac{57}{60} + \frac{36}{60^2}}[/math], 즉 3.125였으나 이후에 나온 값은 [math]3\frac{1}{8}[/math]과 [math]3\frac{1}{7}[/math]의 사이 값이었다. 즉, 3.125 < π < 3.142857143. 4세기의 인도는 3.1416([math]3\frac{177}{1250}[/math])을 썼고, 이후 7세기 들어서부터는 [math]\sqrt{10}[/math], 즉 3.162277을 혼용해 사용했다. 이것은 후한시대 이후 중국의 값이기도 했는데, 도리어 [math]\sqrt{10}[/math]이라는 더 실제와 떨어진 값이 애용된 건 [math]\sqrt{9.65}[/math], [math]\sqrt{9.81}[/math], [math]\sqrt{9.86}[/math], [math]\sqrt{9.87}[/math](=3.14165561)...이라는 값이 나오자 근사로 "혹시 저 제곱근의 정확한 값은 [math]\sqrt{10}[/math]이 아닐까?"라는 지나친 비약으로 나아간 것이었다. 오히려 딴 동네에서 안 쓰던 '0'과 10진법을 사용하던 "똑똑한" 중국, 인도인이었기에 벌어진 촌극이었다고 할 수 있다. 실제로 원주율은 [math]\sqrt{9.869604}[/math] 정도에서 수렴된다.

고대 그리스에서는 시라쿠사의 아르키메데스가 96각형을 활용해 [math]3 \frac{10}{71}[/math]과 [math]3 \frac{1}{7}[/math]의 사이이며, 대강 "3.14163([math]\frac{211875}{67441}[/math])보다 조금 큰 값"까지 근접하는 상당히 높은 수준에 다다랐다. 또한 아르키메데스가 개발한 원에 내/외접하는 정다각형을 이용한 원주율 계산법이 1400년경 인도의 마다바가 무한 급수를 이용하는 방법을 창안해내기 전까지 무려 1,600년간 변함없이 전세계에서 이용되었다. 이런 이유로 원주율을 '아르키메데스의 상수'라고 부르기도 했다.

그러나 서양에서는 이후로 퇴보하여 로마와 중세 내내 '약 3'이나 '3[math]\frac{1}{8}[/math]', '[math]\frac{256}{81}[/math](3.160493)' (뒤의 둘은 수도원에서 사용), '3[math]\frac{1}{7}[/math]'(교황 실베스터2세(재위999-1003)가 수도사 시절 계산) 등으로 원주율을 사용했다. '약 3'은 미국과 일본 등 여러 나라에서 기초교육에서 가르치는 원주율로 쓰고 있다. 하지만 정확한 계산을 요구하는 곳에서는 절대로 쓸 수 없다. 이렇게 쓰면 원에 내접하는 육각형과 원둘레의 차이가 사라진다.

미국 남부의 보수적인 일부 근본주의 꼴통 신자들은 '약 3' 이상으로 원주율을 아는 것을 불경으로 여긴다는 골때리는 이야기도 있는데, 근거는 성경의 구절에서도 솔로몬의 성전을 설명할 때 원주율을 3으로 여기고 서술하는 부분(대양의 바다...)이 있기 때문이다. 그렇게 2500년 전 수준에 머물렀습니다 물론 세월이 흐르면서 나름 유대교 등에서도 원전에 히브리어로 3.14를 상징하는 문자 암호를 쑤셔넣었다는 해석도 있고(line이라는 뜻의 단어의 표기가 조금 다른데, 문자 숫자로 해석하면 이것이 3.14가 된다고 한다.), AD150년경 랍비 네헤미아(원주율= 3[math]\frac{1}{7}[/math]을 사용)는 어떻게든 성경의 그 구절이 원주율이 "3"이 아니라는 여러 해석을 만드려고 고군분투했었다. [3]

심지어 지금까지의 원주율은 과학자들이 모두 속인 것이며, 원주율은 유리수라는 주장도 이따금 유사역사학처럼 알만한 사람들을 즐겁게 해주고 있다. 그 값도 나름 다양해서 [math]\frac{20612}{6561}[/math] = 3.14159427 라는 실용적 수치에선 썩 그럴싸한 값에서, 3.16이라는 3천년 전 수준의 헛소리도 있다.

도리어 중국에서도 후한시대 수학자인 장형이 3.1623을 제시한 이래, 삼국시대 위나라 때 유휘(劉徽)가 정3072각형을 이용하여 "약 3.14"라는 비교적 근접한 값을 제시했다. 263년 유휘는 구장산술에 주석을 달았다(구장산술주). 그리고 흔히 대부분의 책이 그렇듯 구장산술은 유휘 주석본(휘주)이 정본으로 전해지고 있다. 이 책이 진나라때 비롯되어 전한때 쓰여졌다는 것을 알게 된 것도 유휘의 글 때문이다. 이후 당의 이순풍이 좀더 주석을 달았다.

300000868259129316468853540.jpg

무엇보다 480년 경에 송나라의 태사령 조충지(祖沖之, 429~500)와 아들 조훤지(祖暅之)는 정12,288각형을 이용하여 3.141592(6)이라는 보다 정확한 값으로 계산하였다. 이는 거의 천년 간 가장 정확한 원주율이었다. 사실 조충지 부자가 구한 소수점 이하 7자리 정도면 실용적 계산, 즉 공학적 계산에서는 충분히 유용한 수준이다. 더 복잡한 파이의 실제 값은 계산기가 없는 상황에선 사용하기에 불리하다는 점을 상기해보자. 조충지가 편의상 원주율의 근사값으로 이용한 [math]3 \frac{1}{7}[/math](=[math]\frac{22}{7}[/math])이란 수는 지금도 현대적 계산식과 아라비아 숫자 없이 쓰기엔 충분히 편리한 감이 있다.

이보다 더 정확한 값을 20진법과 자릿수의 사용, 그리고 고도의 수학, 천문학을 발전시킨 마야인들이 발견하지 않았을까 하는 설도 있으나 추측일 뿐이다. 여하간 이로서 중국은 유휘와 조충지 시기에 아르키메데스를 앞질렀다. 아쉽게도 조충지가 쓴 원주율에 대한 책인 철술(綴術)은 전해지지 않는다.

이후 900년 정도의 시간이 흘러 다시 기록이 깨지기 시작하여 1400년경 인도의 마다바가 마다바-라이프니츠 급수(Madhava-Leibniz series)를 개발하여 소수점 이하 10자리까지, 1424년 페르시아의 잠쉬드 알 카샤니가 정805,306,368각형(!)을 이용하여 소수점 이하 16자리까지 계산하였다. 이렇듯 신기록을 수립한 시대는 원주율 계산 방식 및 무한과 극한을 다루는 수학의 혁신기이기도 했으며, 15세기의 인도를 시작으로 유럽에서 원주율을 구하는 방식이 고대에 이용된 내접/외접 다각형을 이용한 계산으로부터 무한 급수를 이용한 계산으로 전환되면서 과거보다 더 높은 정밀도로 원주율의 값을 구하기 시작했다.

유럽은 발렌티우스 오토가 [math]\frac{355}{113}[/math](3.14159292)이라는 비율을 1573년 제시한 이후에야 중국을 앞지르기 시작했다. [math]\frac{355}{113}[/math]은 천년 전 조충지가 채택한 값이었다. 1593년 프랑수아 비에트가 유럽에서 처음으로 무한 급수를 이용한 원주율 계산법을 고안해냈고, 1596년 라이덴 대학의 루돌프 판 체울렌이 소수점 이하 20자리까지 구함으로써, 172년 전에 페르시아의 알 카샤니가 세웠던 세계 최고 기록을 깨는데 성공했다. 이후 독일에서는 루돌프 판 체울렌이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후(1621년 공표) 원주율을 '루돌프 수'라고 부르기도 한다.

에도 시대 일본의 원주율 계산도 자체적으로 상당한 수준에 다다랐다. 1722년 일본의 타케베 타카히로가 원주율을 소수점 이하 41자리까지 계산해냈고, 1739년 마츠나가 요시스케는 무한 급수를 사용하여 소수점 이하 49자리까지 구했다.

한편 1706년 윌리엄 존스가 π 를 처음으로 원주율의 의미로 사용했다. 1766년 독일의 람베르트가 π 가 무리수임을 증명했고, 1882년 독일의 린데만이 π 가 초월수임을 증명하여 원적문제의 작도 불가능성을 최종적으로 증명했다.

자릿수 높이기 경쟁은 끝나지 않았고 여러 수학자들은 π 값을 더 많은 자리까지 구하기 위해 자신의 시간, 심지어 일생까지 바치기도 했는데, 윌리엄 샹크스(Willian Shanks)라는 19세기 후반의 영국 수학자는 소수점 이하 707자리까지 15년간 손으로 계산하였다. 근데 20세기 들어와서 1945년 퍼거슨이 전자식이 아닌 기계식 계산기로 한 계산에서 이중 527자리부터는 틀렸다는 사실이 순식간에 밝혀졌다. 현재까지 계산기의 도움을 빌리지 않은 수작업 계산에서는 1945년 퍼거슨이 세운 소수점 이하 540자리까지가 최고 기록으로 남아 있다. 하지만 요즘 컴퓨터로 최신의 계산 프로그램을 이용하면 슈퍼컴퓨터도 아니고 그냥 평범한 노트북 컴퓨터로 10억 번째 자리까지 계산하는데 10분도 걸리지 않는다.

그래도 이 시기 수학자들의 노력이 헛짓만은 아니었던 게, 이런 연구들을 기초로 후세에 컴퓨터가 있다면 손쉽게 구할 수 있는 여러 유도식을 발견하기도 하였다. 예를 들면 이렇게 근사하게 파이가 표현된다.

[math]\displaystyle \pi = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right)^{n-1} \frac{1}{2n-1} = 4 \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+ \cdots \right)[/math]

이 급수는 역탄젠트 함수의 급수 전개를 알면 쉽게 얻어낼 수 있다. 다만 수렴 속도가 매우 느려터진 급수로 둘째 자리까지 정확한 값이 나오는 데 600여 항이 필요하다. 최초로 역탄젠트 함수의 급수 전개를 알아낸 마다바(Madhava)도 원주율을 구하기 위해 수렴 속도가 훨씬 빠른 다른 급수를 썼다. 무리수가 들어가는 표현이지만... 어쨌든 수열의 합으로 원주율을 나타낼 수 있음을 안 뒤로는 수렴 속도가 훨씬 빠른 급수를 찾아나섰고, 1706년 존 마친(John Machin)이 발견하여 당시 소수점 이하 100자리까지 계산하는데 사용한 급수는 현대에도 쓰이고 있다.

슈퍼컴퓨터의 성능을 측정하는 기준 중 하나가 π 값을 주어진 시간 내에 얼마나 많은 자리까지 구할 수 있냐는 것. 흔히 슈퍼파이라는 프로그램이 개인용 PC의 CPU 연산 테스트 용으로 널리 쓰인다. 다만 이 슈퍼파이란 프로그램은 만들어진지 워낙 오래된 프로그램이라(1995년에 짠 코드니 당연하다) 멀티코어를 전혀 지원하지 않으며 AVX, SSE 같은 부동소수점 연산을 가속할 수 있는 현대 CPU의 명령어도 전혀 사용하지 않는다. 또한 계산 알고리즘 자체가 비교적 비효율적인 구식 알고리즘이다(슈퍼파이의 알고리즘은 멀티스레드화하기가 매우 어렵다). 제대로 된 원주율 계산 프로그램으로는 y-cruncher라는 프로그램이 있다. 앞서 적은 슈퍼파이의 문제점을 모두 해결하였으며 원주율 계산 세계기록도 전부 이 프로그램으로 달성했을 정도로 널리 쓰이는 프로그램이다. 슈퍼파이를 쓰다가 y-cruncher를 쓰면 10초 걸리던 원주율 100만 자리 계산이 1초 미만으로 줄어드는 신세계를 접할 수 있다. 또한 저 프로그램은 원주율뿐만이 아니라 다른 초월수/무리수의 계산도 몇 가지 지원한다.

개인으로 세운 기록으론 2010년 8월 3일까지 일본의 한 회사원이 소수점 이하 5조 자리까지 계산한 것이 최고였다.(90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)그리고 다음해 10월 10조 자리까지 계산, 자신이 세운 기록을 갈아치웠다. 계산한 수를 저장하는데만 해도 최소[4] 1.25TB 이 아저씨는 이쪽에 취미가 있어보이는지 [math]\ln 10[/math], [math]\ln 2[/math], e, [math]\sqrt{2}[/math]를 계산한 최고기록도 이 아저씨다. 90일 동안 원주율을 계산하고 있을 땐 PC가 설치된 방의 온도가 40도까지 올라가 빨래가 바로 마를 지경이었다고. 대신 전기세 폭탄☆, 수학 덕질이 위험한 증거# 2년 후인 2013년 12월 28일에는 소수점 이하 12조 1000억 50자리까지 계산했다.

2014년 10월 8일, 익명을 요구한 "houkouonchi"란 인물이 208일을 들여 소수점 이하 13조 3천억 자리 까지 계산했다고 발표했다.

라디안과의 연계를 생각하여 파이가 아닌 2파이, 즉 τ(약 6.28)를 쓰자고 주장하는 사람들도 있다. # 이들은 기념일도 3월 14일의 2배인 6월 28일이다. 이들의 계산에 따르면 원주의 길이는 [math]\tau r[/math], 원의 넓이는 [math]\frac{1}{2} \tau r^2[/math], 구의 겉면적은 [math]2 \tau r^2[/math], 구의 부피는 [math]\frac{2}{3} \tau r^3[/math]이 된다. 그런데 타우는 보통 응력의 기호로 사용하기 때문에 혼동의 여지가 있다는 것이 함정.

6 기억술

몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.

How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!

(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!) 저 영어 철자 외우는게 더 어렵지

철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다. Q.E.D. 증명종료에서도 등장한 방법.

오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.

Now I, even I, would celebrate

In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...
(번역)
심지어 나같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정을 원[5]하는지를...

이 역시 철자 수를 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279(30자리)이 된다.

과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.

"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."

이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.

ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅㅇㅈ/ㅊ
123456789

숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.

다행히 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로 32단어 이상으로 확장하는 것은 불가능하다. 띄어쓰기는?

7 트리비아

  • 원주율을 12진법으로 표시한 후 0부터 B까지 반음 음계를 붙여서 멜로디로 연주하면 이렇게 된다. 조성은 C minor.
  • 일본 가수 KOKIA의 노래인 Clap your hands!에서는 가사 중간에 소수점 아래 100자리까지 나온다. 즉. 이 노래의 가사를 완벽하게 외우려면 파이를 소수점 아래 100자리까지 외워야 한다는 소리. 그것도 일본어로. 비슷한 노래로 테니스의 왕자에 나오는 이누이 사다하루의 캐릭터송 중 π가 있다.
  • 척 노리스는 원주율의 마지막 숫자를 알고 있다고 한다.
  • PIE를 거울에 비춰보면 3.14와 비슷한 형태가 된다고 한다.참고
  • 모 탐정은 원주율을 3으로 친다고 한다.
  1. ↑ 우뚝할 올
  2. ↑ 최근 EBS의 다큐프라임 넘버스 1부 하늘의 수 - π에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.
  3. ↑ 예를 들어, 둘레는 겉부분이 아니라 통 안쪽의 둘레를 재서 원주율이 작게 나왔다던가... 하지만 성경 뒷부분에 따르면 통의 두께는 아주 얇아서 그런 거 없다.
  4. ↑ 10조 자리의 수열을 정수로 취급하여 이진수로 변환하였을 경우. 현실적으로는 불가능하다
  5. ↑ 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)이 되어야 맞다.
  6. ↑ 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로(...) 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.
  7. ↑ 물론 허언증 갤러리가 그렇듯 당연히 뻥이다. 이 글은 힛갤에도 등극했다. 디시인사이드에서의 반박글